Question

Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Плоскость $\alpha$ содержит прямую $BD_1$, параллельна прямой $AC$ и пересекает параллелепипед по ромбу.

а) Докажите, что основание $ABCD$ является квадратом.

б) Найдите угол между плоскостями $\alpha$ и $BCC_1B_1$, если $AA_1 = 10$ и $AB = 12$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: построить сечение плоскостью $\alpha$, используя параллельность $AC$, и применить свойство ромба для вывода равенства сторон основания.

**а) Доказательство**

1) Через точку $B$ проведём прямую, параллельную $AC$, до пересечения с прямой $DA$ в точке $K$.

2) Соединим $K$ с $D_1$. Из точки $D_1$ проведём прямую, параллельную $BK$, пересекающую ребро $CC_1$ в точке $N$.

3) Поскольку $KB \parallel AC$ и $KB \parallel BK$, четырёхугольник $AKBC$ — параллелограмм. Следовательно, $AK = BC = AD$. Так как $AK = AD$, точка $M$ (середина $AA_1$) удовлетворяет $AM = MA_1 = 5$.

4) В треугольнике $MAB$ по теореме Пифагора:
$$MB^2 = AM^2 + AB^2$$

В треугольнике $MA_1D_1$ по теореме Пифагора:
$$MD_1^2 = A_1M^2 + A_1D_1^2$$

Так как сечение $MBD_1N$ — ромб, имеем $MB = MD_1$. Тогда:
$$AM^2 + AB^2 = A_1M^2 + A_1D_1^2$$

Поскольку $AM = A_1M = 5$, получаем $AB = A_1D_1$. Но $A_1D_1 = AD$, поэтому $AB = AD$. Вместе с равенством противоположных сторон прямоугольника получаем $AB = BC = CD = DA$, то есть $ABCD$ — квадрат. ✓

**б) Нахождение угла**

5) Так как $MBD_1N$ — ромб, диагонали перпендикулярны: $D_1B \perp MN$. Поскольку $MN \parallel AC$ и $AC \parallel KB$, имеем $MN \parallel KB$, откуда $D_1B \perp KB$.

6) Опустим высоту $BH$ из вершины $B$ на сторону $KD_1$ в треугольнике $KBD_1$.

7) Так как $BH \perp KD_1$ и $D_1B \perp KB$, по обратной теореме о трёх перпендикулярах получаем $AH \perp KB$. Угол $\angle BHA$ — искомый угол между плоскостями.

Вычислим $AH$. В треугольнике $AKM$ по теореме Пифагора:
$$KM = \sqrt{AK^2 + AM^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{169} = 13$$

Высота из $A$ на $KM$:
$$AH = \frac{AK \cdot AM}{KM} = \frac{12 \cdot 5}{13} = \frac{60}{13}$$

Тогда:
$$	an(\angle BHA) = \frac{AB}{AH} = \frac{12}{\frac{60}{13}} = \frac{12 \cdot 13}{60} = \frac{13}{5}$$

$$\angle BHA = \arctan\left(\frac{13}{5}ight)$$

Задание №14СтереометрияЕГЭ по математике