Question

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение $x^2 + a^2 + x - 7a = |7x + a|$ имеет больше двух различных корней.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: раскрыть модуль по двум случаям, свести каждый к уравнению окружности, найти их пересечение с прямой $7x + a = 0$ и определить, при каких $a$ общее число корней превышает два.

**Случай 1:** $7x + a \geq 0$

$$x^2 + a^2 + x - 7a = 7x + a$$

$$x^2 - 6x + a^2 - 8a = 0$$

Дополним до полных квадратов:

$$x^2 - 6x + 9 + a^2 - 8a + 16 = 25$$

$$(x - 3)^2 + (a - 4)^2 = 25$$

Это окружность с центром $(3; 4)$ и радиусом $5$.

**Случай 2:** $7x + a < 0$

$$x^2 + a^2 + x - 7a = -7x - a$$

$$x^2 + 8x + a^2 - 6a = 0$$

Дополним до полных квадратов:

$$x^2 + 8x + 16 + a^2 - 6a + 9 = 25$$

$$(x + 4)^2 + (a - 3)^2 = 25$$

Это окружность с центром $(-4; 3)$ и радиусом $5$.

**Поиск пересечений с прямой $7x + a = 0$:**

Для первой окружности подставим $a = -7x$ в $(x - 3)^2 + (a - 4)^2 = 25$:

$$(x - 3)^2 + (-7x - 4)^2 = 25$$

$$x^2 - 6x + 9 + 49x^2 + 56x + 16 = 25$$

$$50x^2 + 50x = 0$$

$$x(x + 1) = 0$$

Получаем $x = 0$ (тогда $a = 0$) и $x = -1$ (тогда $a = 7$).

Для второй окружности подставим $a = -7x$ в $(x + 4)^2 + (a - 3)^2 = 25$:

$$(x + 4)^2 + (-7x - 3)^2 = 25$$

$$x^2 + 8x + 16 + 49x^2 + 42x + 9 = 25$$

$$50x^2 + 50x = 0$$

$$x(x + 1) = 0$$

Получаем те же точки: $x = 0$ (тогда $a = 0$) и $x = -1$ (тогда $a = 7$).

**Анализ количества корней:**

При $a = 0$ прямая $7x = 0$ проходит через точку $(0; 0)$, которая лежит на обеих окружностях. Каждая окружность пересекает прямую в двух точках, но одна из них совпадает. Таким образом, получается ровно три различных корня.

При $a = 7$ прямая $7x + 7 = 0$ проходит через точку $(-1; 7)$, которая также лежит на обеих окружностях. Аналогично получается три различных корня.

При других значениях $a$ каждая окружность пересекает прямую в двух точках, дающих в сумме четыре корня (или менее, если пересечений нет).

Из геометрического анализа (см. рисунок) видно, что уравнение имеет более двух корней при $a \in [-1; 0] \cup [7; 8]$.

Задание №18Параметры и теория чиселЕГЭ по математике