Question

Решите неравенство:

$$\frac{\log_{4}(64x)}{\log_{4}x-3}+\frac{\log_{4}x-3}{\log_{4}(64x)}\geq\frac{\log_{4}x^{4}+16}{\log_{4}^{2}x-9}$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: применить замену переменной на логарифм, привести дроби к общему знаменателю и решить рациональное неравенство методом интервалов. Преобразуем левую часть, используя свойство логарифма суммы: $$\frac{\log_{4}64+\log_{4}x}{\log_{4}x-3}+\frac{\log_{4}x-3}{\log_{4}64+\log_{4}x}\geq\frac{\log_{4}x^{4}+16}{\log_{4}^{2}x-9}$$ Заметим, что $\log_{4}64 = 3$, поэтому область определения требует $x > 0$. Введём замену $t = \log_{4}x$: $$\frac{3+t}{t-3}+\frac{t-3}{3+t}\geq\frac{4t+16}{t^{2}-9}$$ Перенесём все в левую часть: $$\frac{3+t}{t-3}+\frac{t-3}{3+t}-\frac{4t+16}{t^{2}-9}\geq0$$ Приведём к общему знаменателю $(t-3)(t+3) = t^{2}-9$: $$\frac{(3+t)^{2}+(t-3)^{2}-(4t+16)}{(t-3)(t+3)}\geq0$$ Раскроем скобки в числителе: $$\frac{t^{2}+6t+9+t^{2}-6t+9-4t-16}{(t-3)(t+3)}\geq0$$ $$\frac{2t^{2}-4t+2}{(t-3)(t+3)}\geq0$$ Вынесем общий множитель: $$\frac{2(t^{2}-2t+1)}{(t-3)(t+3)}\geq0$$ $$\frac{2(t-1)^{2}}{(t-3)(t+3)}\geq0$$ Применим метод интервалов. Критические точки: $t = -3$, $t = 1$, $t = 3$. Числитель $2(t-1)^{2} \geq 0$ при всех $t$, обращается в нуль при $t = 1$. Знаменатель $(t-3)(t+3)$ положителен при $t < -3$ или $t > 3$, отрицателен при $-3 < t < 3$. Решение неравенства: $t < -3$, $t = 1$, $t > 3$. Вернёмся к исходной переменной: При $t < -3$: $\log_{4}x < -3 \Rightarrow x < 4^{-3} = \frac{1}{64}$. При $t = 1$: $\log_{4}x = 1 \Rightarrow x = 4$. При $t > 3$: $\log_{4}x > 3 \Rightarrow x > 4^{3} = 64$. С учётом ограничения $x > 0$ получаем: $$x \in \left(0; \frac{1}{64}\right) \cup \{4\} \cup (64; +\infty)$$

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике