Question

Решите неравенство:

$$\log_{5}(8x^{2}+7) - \log_{5}(x^{2}+x+1) \geq \log_{5}\left(\frac{x}{x+7}+7\right)$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: упростить аргумент логарифма справа, применить свойства логарифмов и свести задачу к рациональному неравенству. Сначала преобразуем выражение под логарифмом справа: $$\frac{x}{x+7}+7 = \frac{x+7(x+7)}{x+7} = \frac{x+7x+49}{x+7} = \frac{8x+49}{x+7}$$ Это выражение определено при $x eq -7$. Для положительности требуется $\frac{8x+49}{x+7} > 0$, откуда $x < -\frac{49}{8}$ или $x > -7$. Выражение $8x^{2}+7$ всегда положительно. Выражение $x^{2}+x+1$ имеет дискриминант $1-4 = -3 < 0$, поэтому также всегда положительно. Область определения: $x < -\frac{49}{8}$ или $x > -7$. На этой области неравенство принимает вид: $$\frac{8x^{2}+7}{x^{2}+x+1} \geq \frac{8x+49}{x+7}$$ Перенесём всё в левую часть: $$\frac{8x^{2}+7}{x^{2}+x+1} - \frac{8x+49}{x+7} \geq 0$$ Приведём к общему знаменателю: $$\frac{(8x^{2}+7)(x+7) - (8x+49)(x^{2}+x+1)}{(x+7)(x^{2}+x+1)} \geq 0$$ Раскроем скобки в числителе: $$(8x^{2}+7)(x+7) = 8x^{3}+56x^{2}+7x+49$$ $$(8x+49)(x^{2}+x+1) = 8x^{3}+8x^{2}+8x+49x^{2}+49x+49 = 8x^{3}+57x^{2}+57x+49$$ Числитель: $$8x^{3}+56x^{2}+7x+49 - 8x^{3} - 57x^{2} - 57x - 49 = -x^{2} - 50x = -x(x+50)$$ Неравенство становится: $$\frac{-x(x+50)}{(x+7)(x^{2}+x+1)} \geq 0$$ или $$\frac{x(x+50)}{(x+7)(x^{2}+x+1)} \leq 0$$ Так как $x^{2}+x+1 > 0$ всегда, анализируем знаки множителей $x$, $x+50$, $x+7$: - При $x < -50$: $x < 0$, $x+50 < 0$, $x+7 < 0$ → дробь $\frac{(-)(-))}{(-)(+)} = \frac{(+)}{(-)} < 0$ ✓ - При $-50 < x < -7$: $x < 0$, $x+50 > 0$, $x+7 < 0$ → дробь $\frac{(-)(+)}{(-)(+)} = \frac{(-)}{(-)} > 0$ ✗ - При $-7 < x < 0$: $x < 0$, $x+50 > 0$, $x+7 > 0$ → дробь $\frac{(-)(+)}{(+)(+)} = \frac{(-)}{(+)} < 0$ ✓ - При $x > 0$: $x > 0$, $x+50 > 0$, $x+7 > 0$ → дробь $\frac{(+)(+)}{(+)(+)} > 0$ ✗ - При $x = -50$ или $x = 0$: дробь равна $0$ ✓ Решение неравенства: $x \leq -50$ или $-7 < x \leq 0$. Пересекаем с областью определения $x < -\frac{49}{8}$ или $x > -7$: - Интервал $x \leq -50$ полностью входит в $x < -\frac{49}{8}$ ✓ - Интервал $-7 < x \leq 0$ полностью входит в $x > -7$ ✓

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике