Question

В треугольнике $ABC$ точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ — середины сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно, $AH$ — высота, $\angle BAC = 60°$, $\angle BCA = 45°$.

а) Докажите, что точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $H$ лежат на одной окружности.

б) Найдите $A_1H$, если $BC = 2\sqrt{3}$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: использовать свойства средних линий треугольника и медианы, проведённой из прямого угла, чтобы показать, что четырёхугольник является равнобедренной трапецией, вписанной в окружность.

**а) Доказательство**

Отрезок $C_1B_1$ — средняя линия треугольника $ABC$, поэтому $C_1B_1 \parallel BC$ и $C_1B_1 = \frac{1}{2}BC$.

Аналогично, $A_1C_1$ — средняя линия, откуда $A_1C_1 = \frac{1}{2}AC$.

Из параллельности $C_1B_1 \parallel BC$ следует, что $C_1B_1 \parallel A_1H$ (так как $A_1$ лежит на $BC$).

В треугольнике $ACH$ угол при вершине $H$ прямой (так как $AH$ — высота). Медиана $HB_1$, проведённая из прямого угла к гипотенузе $AC$, равна половине гипотенузы:

$$HB_1 = \frac{1}{2}AC = A_1C_1$$

Таким образом, четырёхугольник $A_1HB_1C_1$ имеет параллельные стороны $C_1B_1 \parallel A_1H$ и равные боковые стороны $HB_1 = A_1C_1$. Это равнобедренная трапеция, которая всегда вписана в окружность. Следовательно, точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ и $H$ лежат на одной окружности.

**б) Нахождение $A_1H$**

Отрезок $B_1C_1$ — средняя линия, поэтому:

$$B_1C_1 = \frac{BC}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$$

Треугольник $A_1B_1C_1$ подобен треугольнику $ABC$ с коэффициентом $\frac{1}{2}$, поэтому углы совпадают: $\angle B_1A_1C_1 = \angle BAC = 60°$.

По теореме синусов для треугольника $A_1B_1C_1$:

$$2R = \frac{B_1C_1}{\sin \angle B_1A_1C_1} = \frac{\sqrt{3}}{\sin 60°} = \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2$$

где $R$ — радиус окружности, описанной около четырёхугольника $A_1HB_1C_1$.

Следовательно, $R = 1$.

В треугольнике $ABC$ имеем $\angle ABC = 180° - 60° - 45° = 75°$.

Угол $\angle HA_1C_1$ равен углу $\angle ABC = 75°$ (так как $A_1H \parallel AB$ и соответствующие углы равны).

В треугольнике $A_1C_1H$:

$$\angle A_1C_1H = 180° - \angle HA_1C_1 - \angle A_1HC_1 = 180° - 75° - 45° = 60°$$

По теореме синусов в треугольнике $A_1C_1H$:

$$\frac{A_1H}{\sin \angle A_1C_1H} = 2R$$

$$A_1H = 2R \cdot \sin \angle A_1C_1H = 2 \cdot 1 \cdot \sin 60° = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$$

Задание №17ПланиметрияЕГЭ по математике