Question

Найдите точку максимума функции $y = x^2 - 33x + 136 \cdot \ln x + 74$.

Accepted Answer

8

Answer

Идея решения: найти критические точки через производную, затем определить характер экстремума методом интервалов. Вычислим производную: $$y' = 2x - 33 + \frac{136}{x}$$ Приравняем производную к нулю: $$2x - 33 + \frac{136}{x} = 0$$ Умножим на $x$ (при $x > 0$): $$2x^2 - 33x + 136 = 0$$ Найдём дискриминант: $$D = 33^2 - 4 \cdot 2 \cdot 136 = 1089 - 1088 = 1$$ Корни уравнения: $$x = \frac{33 \pm 1}{4}$$ $$x_1 = \frac{34}{4} = 8{,}5, \quad x_2 = \frac{32}{4} = 8$$ Исследуем знак производной на интервалах с помощью метода интервалов. На числовой оси отметим точки $x = 8$ и $x = 8{,}5$: - При $x < 8$: $y' > 0$ (функция возрастает) - При $8 < x < 8{,}5$: $y' < 0$ (функция убывает) - При $x > 8{,}5$: $y' > 0$ (функция возрастает) Следовательно, $x = 8$ — точка максимума, а $x = 8{,}5$ — точка минимума.

Задание №12Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике