Question

Решите неравенство:

$$\frac{49^{x}-6\cdot 7^{x}+3}{7^{x}-5}+\frac{6\cdot 7^{x}-39}{7^{x}-7}\leq 7^{x}+5$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: введём замену $t = 7^x$, приведём дроби к общему знаменателю и решим рациональное неравенство методом интервалов. Обозначим $t = 7^x$, где $t > 0$. Неравенство принимает вид: $$\frac{t^{2}-6t+3}{t-5}+\frac{6t-39}{t-7}\leq t+5$$ Перенесём всё в левую часть: $$\frac{t^{2}-6t+3}{t-5}+\frac{6t-39}{t-7}-(t+5)\leq 0$$ Приведём к общему знаменателю $(t-5)(t-7)$: $$\frac{(t^{2}-6t+3)(t-7)+(6t-39)(t-5)-(t+5)(t-5)(t-7)}{(t-5)(t-7)}\leq 0$$ Раскроем скобки в числителе: $(t^{2}-6t+3)(t-7) = t^3 - 7t^2 - 6t^2 + 42t + 3t - 21 = t^3 - 13t^2 + 45t - 21$ $(6t-39)(t-5) = 6t^2 - 30t - 39t + 195 = 6t^2 - 69t + 195$ $(t+5)(t-5)(t-7) = (t^2-25)(t-7) = t^3 - 7t^2 - 25t + 175$ Числитель: $$t^3 - 13t^2 + 45t - 21 + 6t^2 - 69t + 195 - (t^3 - 7t^2 - 25t + 175)$$ $$= t^3 - 13t^2 + 45t - 21 + 6t^2 - 69t + 195 - t^3 + 7t^2 + 25t - 175$$ $$= (t^3 - t^3) + (-13 + 6 + 7)t^2 + (45 - 69 + 25)t + (-21 + 195 - 175)$$ $$= 0 \cdot t^2 + t - 1 = t - 1$$ Неравенство принимает вид: $$\frac{t-1}{(t-5)(t-7)}\leq 0$$ Найдём нули и точки разрыва: $t = 1$, $t = 5$, $t = 7$. Методом интервалов определяем знаки на каждом промежутке: - При $t < 1$: $\frac{(-)}{(-)(-)}\leq 0$ — верно - При $1 < t < 5$: $\frac{(+)}{(-)(-)}\leq 0$ — неверно - При $5 < t < 7$: $\frac{(+)}{(+)(-)}\leq 0$ — верно - При $t > 7$: $\frac{(+)}{(+)(+)}\leq 0$ — неверно Решение в переменной $t$: $$t \leq 1 ext{ или } 5 < t < 7$$ Вернёмся к переменной $x$. Так как $t = 7^x$: $$7^x \leq 1 ext{ или } 5 < 7^x < 7$$ $$7^x \leq 7^0 ext{ или } 7^{\log_7 5} < 7^x < 7^1$$ $$x \leq 0 ext{ или } \log_7 5 < x < 1$$

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике