Question

а) Решите уравнение $\sin 2x + \sqrt{2}\sin\left(x + \pi\right) = 0$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-4\pi; -\frac{5\pi}{2}\right]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: упростить уравнение, используя формулы синуса двойного угла и синуса суммы, затем разложить на множители.

**а) Решение уравнения**

Применим формулу синуса двойного угла и свойство синуса суммы:

$$\sin 2x + \sqrt{2}\sin\left(x + \pi\right) = 0$$

$$2\sin x \cos x - \sqrt{2}\sin x = 0$$

Вынесем общий множитель:

$$\sin x(2\cos x - \sqrt{2}) = 0$$

Отсюда получаем два случая.

**Случай 1:** $\sin x = 0$

$$x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

**Случай 2:** $2\cos x - \sqrt{2} = 0$

$$\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$x = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

**б) Отбор корней на отрезке $\left[-4\pi; -\frac{5\pi}{2}\right]$**

Проверим, какие значения из семейств решений попадают в указанный промежуток.

Для $x = \pi n$:
- При $n = -4$: $x = -4\pi$ — входит в отрезок.
- При $n = -3$: $x = -3\pi$ — входит в отрезок.

Для $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$:
- При $n = -2$: $x = \frac{\pi}{4} - 4\pi = -\frac{15\pi}{4}$ — входит в отрезок.

Для $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$:
- При $n = -2$: $x = -\frac{\pi}{4} - 4\pi = -\frac{17\pi}{4}$ — не входит (меньше $-4\pi$).
- При $n = -1$: $x = -\frac{\pi}{4} - 2\pi = -\frac{9\pi}{4}$ — входит в отрезок.

Задание №13УравненияЕГЭ по математике