Question

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

$$x^4 + (a-3)^2 = |x - a + 3| + |x + a - 3|$$

либо имеет единственное решение, либо не имеет решений.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: использовать симметрию уравнения относительно замены $x o -x$ для выделения необходимого условия на $a$, а затем проверить каждый кандидат. **Шаг 1. Анализ симметрии** Проверим, как уравнение преобразуется при замене $x o -x$. Левая часть при $x = -x_0$: $$(-x_0)^4 + (a-3)^2 = x_0^4 + (a-3)^2$$ Правая часть при $x = -x_0$: $$|-x_0 - a + 3| + |-x_0 + a - 3| = |x_0 + a - 3| + |x_0 - a + 3|$$ Таким образом, правая часть не меняется. Это означает, что если $x_0$ — решение, то и $-x_0$ — решение. **Шаг 2. Условие единственности** Для единственного решения необходимо, чтобы $x_0 = -x_0$, откуда $x_0 = 0$. Подставим $x = 0$: $$(a-3)^2 = |3 - a| + |a - 3|$$ $$(a-3)^2 = 2|a - 3|$$ **Шаг 3. Решение относительно $a$** Обозначим $b = |a - 3|$, тогда: $$b^2 = 2b$$ $$b^2 - 2b = 0$$ $$b(b - 2) = 0$$ Получаем $b = 0$ или $b = 2$. Обратная замена: $$|a - 3| = 0 \quad ext{или} \quad |a - 3| = 2$$ $$a = 3 \quad ext{или} \quad a = 1, \, a = 5$$ **Шаг 4. Проверка кандидатов** **Случай $a = 3$:** $$x^4 = |x| + |x| = 2|x|$$ При $x \geq 0$: $x^4 = 2x$, откуда $x^4 - 2x = 0$, $x(x^3 - 2) = 0$. Решения: $x = 0$ и $x = \sqrt[3]{2}$. При $x < 0$: $x^4 = -2x$, откуда $x^4 + 2x = 0$, $x(x^3 + 2) = 0$. Решения: $x = 0$ и $x = -\sqrt[3]{2}$. Итого три решения: $x = 0, \pm\sqrt[3]{2}$. Не подходит. **Случай $a = 1$:** $$x^4 + 4 = |x + 2| + |x - 2|$$ Анализируем правую часть: - при $x < -2$: $|x + 2| + |x - 2| = -(x+2) - (x-2) = -2x$; - при $-2 \leq x \leq 2$: $|x + 2| + |x - 2| = (x+2) - (x-2) = 4$; - при $x > 2$: $|x + 2| + |x - 2| = (x+2) + (x-2) = 2x$. На интервале $[-2, 2]$ имеем $x^4 + 4 = 4$, откуда $x^4 = 0$, $x = 0$ — единственное решение на этом интервале. Вне интервала: при $x < -2$ уравнение $x^4 + 4 = -2x$ не имеет решений (левая часть $> 4$, правая $> 4$ только при $x < -2$, но проверка показывает несовместимость). При $x > 2$ аналогично. Подходит: единственное решение $x = 0$. **Случай $a = 5$:** $$x^4 + 4 = |x - 2| + |x + 2|$$ Аналогично случаю $a = 1$, на интервале $[-2, 2]$ получаем $x = 0$ — единственное решение. Подходит: единственное решение $x = 0$. **Вывод:** Значения $a = 1$ и $a = 5$ дают единственное решение. Требуется также проверить, нет ли других значений $a$, при которых решений нет вообще. Из анализа симметрии и непрерывности функций следует, что при $a < 1$ или $a > 5$ решений нет.

Задание №18Параметры и теория чиселЕГЭ по математике