Question

а) Решите уравнение $16^{\sin x} - 6 \cdot 4^{\sin x} + 8 = 0$.

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-5\pi; -\frac{7\pi}{2}\right]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: свести уравнение к квадратному через замену переменной $t = 4^{\sin x}$.

**а)** Переписываем левую часть, заметив, что $16^{\sin x} = (4^2)^{\sin x} = 4^{2\sin x}$:

$$4^{2\sin x} - 6 \cdot 4^{\sin x} + 8 = 0$$

Вводим замену $t = 4^{\sin x}$, где $t > 0$:

$$t^2 - 6t + 8 = 0$$

Решаем квадратное уравнение:

$$t_1 = 4, \quad t_2 = 2$$

Возвращаемся к исходной переменной.

Из $4^{\sin x} = 4$:

$$\sin x = 1$$

$$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Из $4^{\sin x} = 2$:

$$2^{2\sin x} = 2^1$$

$$2\sin x = 1$$

$$\sin x = \frac{1}{2}$$

$$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

$$x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

**б)** Отбираем корни на отрезке $\left[-5\pi; -\frac{7\pi}{2}\right]$ с помощью тригонометрической окружности.

Для семейства $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$:

При $k = -3$: $x = \frac{\pi}{2} - 6\pi = -\frac{11\pi}{2}$ — входит в отрезок.

Для семейства $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k$:

При $k = -2$: $x = \frac{\pi}{6} - 4\pi = \frac{\pi - 24\pi}{6} = -\frac{23\pi}{6}$ — входит в отрезок.

Для семейства $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k$:

При $k = -2$: $x = \frac{5\pi}{6} - 4\pi = \frac{5\pi - 24\pi}{6} = -\frac{19\pi}{6}$ — входит в отрезок.

Задание №13УравненияЕГЭ по математике