Question

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение

$$\ln(5x - 2) \cdot \sqrt{x^2 - 2x + 2a - a^2} = 0$$

имеет ровно один корень на отрезке $[0; 1]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель обращается в нуль; нужно найти все корни каждого множителя, учесть область определения и условие единственности на отрезке. **Шаг 1. Анализ первого множителя.** Логарифм определён при $5x - 2 > 0$, откуда $x > 0{,}4$. Уравнение $\ln(5x - 2) = 0$ даёт $5x - 2 = 1$, то есть $x = 0{,}6$. **Шаг 2. Условие на подкоренное выражение.** Обозначим $f(x) = x^2 - 2x + 2a - a^2$. Для определённости корня требуется $f(x) \geq 0$. В точке $x = 0{,}6$: $$f(0{,}6) = 0{,}36 - 1{,}2 + 2a - a^2 \geq 0$$ $$a^2 - 2a + 0{,}84 \leq 0$$ Дискриминант: $D = 4 - 3{,}36 = 0{,}64 = 0{,}8^2$. Корни: $a = \frac{2 \pm 0{,}8}{2}$, откуда $a = 0{,}6$ или $a = 1{,}4$. Таким образом, $a \in [0{,}6; 1{,}4]$ — необходимое условие для того, чтобы $x = 0{,}6$ был корнем. **Шаг 3. Корни второго множителя.** Уравнение $\sqrt{x^2 - 2x + 2a - a^2} = 0$ равносильно $x^2 - 2x + 2a - a^2 = 0$. Перепишем: $$(x - 1)^2 - 1 + 2a - a^2 = 0$$ $$(x - 1)^2 = (a - 1)^2$$ Отсюда $x - 1 = \pm(a - 1)$, то есть $x = a$ или $x = 2 - a$. **Шаг 4. Анализ по случаям.** *Случай $a < 0{,}6$:* Условие $a \in [0{,}6; 1{,}4]$ не выполнено, поэтому $x = 0{,}6$ не является корнем. При $a < 0{,}4$: корень $x = a$ не входит в область определения первого множителя (так как $a < 0{,}4$), поэтому корней на $[0; 1]$ нет. При $a \in [0{,}4; 0{,}6)$: только $x = a \in [0; 1]$ — один корень. *Случай $a \in [0{,}6; 1{,}4]$:* Точка $x = 0{,}6$ — корень (оба множителя обращаются в нуль). Точка $x = a$ при $a \in [0{,}6; 1]$ входит в $[0; 1]$ — корень. Точка $x = 2 - a$ при $a \in [1; 1{,}4]$ входит в $[0; 1]$ — корень. *Случай $a > 1{,}4$:* Условие $a \in [0{,}6; 1{,}4]$ не выполнено, поэтому $x = 0{,}6$ не является корнем. При $a \in (1{,}4; 2]$: корень $x = a > 1$ не входит в $[0; 1]$, но $x = 2 - a \in [0; 0{,}6)$ входит в $[0; 1]$ — один корень. **Шаг 5. Выделение значений с единственным корнем.** - $a \in [0{,}4; 0{,}6)$: один корень $x = a$. - $a = 0{,}6$: один корень $x = 0{,}6$ (совпадают оба множителя). - $a = 1{,}4$: один корень $x = 0{,}6$ (корни $x = a = 1{,}4$ и $x = 2 - a = 0{,}6$ совпадают с граничной точкой). - $a \in (1{,}4; 1{,}6)$: один корень $x = 2 - a$.

Задание №18Параметры и теория чиселЕГЭ по математике