Question

При каких значениях параметра $a$ уравнение имеет ровно 2 различных решения?

$$\frac{|4x| - x - 3 - a}{x^2 - x - a} = 0$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю; нужно найти пересечения графиков числителя и знаменателя, исключив точки, где знаменатель обращается в ноль.

Дробь равна нулю при условии:

$$\begin{cases}
a 
eq x^2 - x \
a = |4x| - x - 3
\end{cases}$$

**Анализ первого условия:** $a = x^2 - x$

Это парабола с вершиной в точке $x_В = \frac{1}{2}$, $a_В = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$.

| $x$ | $-1$ | $0$ | $\frac{1}{2}$ | $1$ | $2$ |
|-----|------|-----|--------------|-----|-----|
| $a$ | $2$ | $0$ | $-\frac{1}{4}$ | $0$ | $2$ |

**Анализ второго условия:** $a = |4x| - x - 3$

$$a = \begin{cases}
3x - 3, & x \geq 0 \
-5x - 3, & x < 0
\end{cases}$$

| $x$ | $-1$ | $0$ | $1$ |
|-----|------|-----|-----|
| $a$ | $2$ | $-3$ | $0$ |

**Пересечение при $x \geq 0$:**

$$\begin{cases}
a = x^2 - x \
a = 3x - 3
\end{cases}$$

$$x^2 - x = 3x - 3$$
$$x^2 - 4x + 3 = 0$$
$$x_1 = 3, \quad a = 6$$
$$x_2 = 1, \quad a = 0$$

**Пересечение при $x < 0$:**

$$\begin{cases}
a = x^2 - x \
a = -5x - 3
\end{cases}$$

$$x^2 - x = -5x - 3$$
$$x^2 + 4x + 3 = 0$$
$$x_1 = -3, \quad a = 12$$
$$x_2 = -1, \quad a = 2$$

Из графика видно, что ровно 2 решения исходного уравнения получаются при $a = 0$, $a = 2$ и $a = 12$.

Задание №18Параметры и теория чиселЕГЭ по математике