Question

Моторная лодка отправилась из пункта А в пункт В (расстояние 30 км) в 10:00. После двухчасового пребывания в пункте В лодка начала обратный путь и прибыла в пункт А в 18:00. Найдите собственную скорость лодки (в км/ч), если скорость течения реки составляет 1 км/ч.

Accepted Answer

11

Answer

Идея решения: составить уравнение на основе времени в пути, учитывая скорости по течению и против течения.

Обозначим собственную скорость лодки как $x$ км/ч. Тогда скорость по течению равна $x + 1$ км/ч, а против течения — $x - 1$ км/ч.

Время в пути туда:

$$t_1 = \frac{30}{x+1}$$

Время в пути обратно:

$$t_2 = \frac{30}{x-1}$$

Общее время в пути с 10:00 до 18:00 составляет 8 часов. Вычтем время стоянки (2 часа 30 минут = 2,5 часа):

$$t_1 + t_2 = 8 - 2{,}5 = 5{,}5$$

Составим уравнение:

$$\frac{30}{x+1} + \frac{30}{x-1} = 5{,}5$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{30(x-1) + 30(x+1)}{(x+1)(x-1)} = 5{,}5$$

$$\frac{30x - 30 + 30x + 30}{x^2 - 1} = 5{,}5$$

$$\frac{60x}{x^2 - 1} = 5{,}5$$

$$60x = 5{,}5(x^2 - 1)$$

$$60x = 5{,}5x^2 - 5{,}5$$

$$5{,}5x^2 - 60x - 5{,}5 = 0$$

Умножим на 2 для удобства:

$$11x^2 - 120x - 11 = 0$$

Найдём дискриминант:

$$D = 120^2 + 4 \cdot 11 \cdot 11 = 14400 + 484 = 14884 = 122^2$$

Корни уравнения:

$$x = \frac{120 \pm 122}{22}$$

$$x_1 = \frac{242}{22} = 11; \quad x_2 = \frac{-2}{22} = -\frac{1}{11}$$

Так как скорость не может быть отрицательной, $x = 11$ км/ч.

Задание №10Текстовые и прикладные задачиЕГЭ по математике