Question

Найдите точку минимума функции $y = (7 - x) \cdot e^{7-x}$.

Accepted Answer

8

Answer

Идея решения: найти критические точки через производную и определить характер экстремума методом интервалов. Вычислим производную функции: $$y' = -e^{7-x} - (7-x) \cdot e^{7-x}$$ Вынесем общий множитель: $$y' = -e^{7-x}(1 + 7 - x) = -e^{7-x}(8 - x)$$ Приравняем производную к нулю: $$-e^{7-x}(8 - x) = 0$$ Поскольку $e^{7-x} > 0$ для всех $x$, получаем: $$8 - x = 0$$ $$x = 8$$ Исследуем знак производной на интервалах. При $x < 8$ имеем $8 - x > 0$, поэтому $y' = -e^{7-x}(8-x) < 0$ (функция убывает). При $x > 8$ имеем $8 - x < 0$, поэтому $y' = -e^{7-x}(8-x) > 0$ (функция возрастает). Производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, $x = 8$ — точка минимума.

Задание №12Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике