Question

На доске написано 20 натуральных чисел (не обязательно различных), каждое из которых больше 5, но не превосходит 45. Некоторые из этих чисел (возможно, только одно) уменьшили на единицу. Все числа, которые после этого стали равны 5, удалили с доски, но на доске осталось хотя бы одно число.

а) Может ли среднее арифметическое увеличиться?

б) Если первоначальное среднее арифметическое равнялось 32, может ли среднее арифметическое оставшихся чисел равняться 39?

в) Если первоначальное среднее арифметическое равнялось 32, найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического оставшихся на доске чисел.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: в пункте (а) показать конкретный пример; в пункте (б) составить систему уравнений и доказать её несовместимость; в пункте (в) минимизировать количество удаляемых чисел и максимизировать остальные.

**а)** Рассмотрим набор: 10 чисел, равных 6, и 10 чисел, равных 7.

Первоначальное среднее арифметическое:

$$S_1 = \frac{10 \cdot 6 + 10 \cdot 7}{20} = 6{,}5$$

Уменьшим все десять шестёрок на единицу — получим пять нулей, которые удалим. Останется 10 семёрок.

Новое среднее арифметическое:

$$S_2 = \frac{10 \cdot 7}{10} = 7$$

Поскольку $7 > 6{,}5$, среднее арифметическое увеличилось.

**б)** Обозначим количество чисел, равных 6, через $n$. Остальные $20 - n$ чисел обозначим так: $(19 - n)$ чисел равны $b$, и одно число равно $a$.

Из условия на первоначальное среднее:

$$\frac{6n + (19 - n)b + a}{20} = 32$$

$$6n + (19 - n)b + a = 640 \quad (1)$$

После уменьшения на 1 и удаления чисел, ставших равны 5, остаётся $(20 - n)$ чисел со средним 39:

$$\frac{(19 - n)b + a}{20 - n} = 39$$

$$(19 - n)b + a = 39(20 - n) \quad (2)$$

Раскроем скобки в (2):

$$(19 - n)b + a = 780 - 39n$$

Вычтем (2) из (1):

$$6n - (-39n) = 640 - (780 - 39n)$$

$$6n + 39n = 640 - 780 + 39n$$

$$45n = -140 + 39n$$

$$6n = -140$$

$$n = -\frac{70}{3}$$

Получено отрицательное значение, что невозможно. Следовательно, такой сценарий недостижим.

**в)** Чтобы максимизировать среднее оставшихся чисел, нужно минимизировать количество удаляемых шестёрок и максимизировать остальные числа.

Пусть $n$ — количество шестёрок, $a$ — двадцатое число. Остальные $(19 - n)$ чисел равны 45.

Из условия на первоначальное среднее:

$$\frac{6n + (19 - n) \cdot 45 + a}{20} = 32$$

$$6n + 855 - 45n + a = 640$$

$$a - 39n = -215$$

$$a = 39n - 215$$

Так как $6 < a \leq 45$:

$$6 < 39n - 215 \leq 45$$

$$221 < 39n \leq 260$$

$$5{,}67... < n \leq 6{,}67$$

Следовательно, $n = 6$, откуда $a = 39 \cdot 6 - 215 = 19$.

Набор: шесть шестёрок, тринадцать сорокапяток и одна девятнадцать.

Проверка первоначального среднего:

$$S_1 = \frac{6 \cdot 6 + 13 \cdot 45 + 19}{20} = \frac{36 + 585 + 19}{20} = \frac{640}{20} = 32$$

После удаления шести шестёрок (ставших пятёрками) остаётся 14 чисел:

$$S_2 = \frac{13 \cdot 45 + 19}{14} = \frac{585 + 19}{14} = \frac{604}{14} = \frac{302}{7} = 43\frac{1}{7}$$

Задание №19Параметры и теория чиселЕГЭ по математике