Question

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение 
$$\left( 5x+\left| x-{a}^{2} \right|-4\left| x+1 \right|-{a}^{2} \right)^{2}+\left( a+2 \right)\left( 5x+\left| x-{a}^{2} \right|-4\left| x+1 \right|-{a}^{2} \right)+1=0$$
имеет ровно два различных корня.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: введём замену переменной, проанализируем поведение внутреннего выражения на разных промежутках и найдём условия на параметр, при которых квадратное уравнение относительно новой переменной даёт ровно два корня исходного уравнения. Обозначим $$t = 5x+\left| x-{a}^{2} ight|-4\left| x+1 ight|-{a}^{2}$$ Тогда исходное уравнение принимает вид: $$t^{2}+\left( a+2 ight)t+1=0$$ Найдём нули подмодульных выражений: $x = a^2$ и $x = -1$. Раскроем модули на каждом из трёх промежутков: **При $x \leq -1$:** $$t = 5x - (x - a^2) + 4(x+1) - a^2 = 8x + 4$$ **При $-1 < x < a^2$:** $$t = 5x - (x - a^2) - 4(x+1) - a^2 = -4$$ **При $x \geq a^2$:** $$t = 5x + (x - a^2) - 4(x+1) - a^2 = 2x - 2a^2 - 4$$ Заметим, что на промежутке $(-1, a^2)$ функция $t$ принимает постоянное значение $t = -4$. Это означает, что если $-4$ является решением уравнения $t^2 + (a+2)t + 1 = 0$, то все $x \in (-1, a^2)$ будут решениями исходного уравнения, что даёт бесконечно много корней. Следовательно, для получения ровно двух корней необходимо, чтобы $t = -4$ не удовлетворял квадратному уравнению. Квадратное уравнение $t^2 + (a+2)t + 1 = 0$ должно иметь два различных решения $t_1$ и $t_2$, оба отличные от $-4$. Каждое такое значение $t$ даёт ровно один корень $x$ (так как на промежутках $x \leq -1$ и $x \geq a^2$ функция $t(x)$ монотонна). Условия: 1) Дискриминант положителен: $$D = (a+2)^2 - 4 > 0$$ Раскроем скобки: $$(a+2)^2 - 4 = (a+2-2)(a+2+2) = a(a+4) > 0$$ Это выполнено при $a \in (-\infty, -4) \cup (0, +\infty)$. 2) Значение $t = -4$ не является корнем: $$(-4)^2 + (a+2)(-4) + 1 eq 0$$ $$16 - 4a - 8 + 1 eq 0$$ $$9 - 4a eq 0$$ $$a eq \frac{9}{4}$$ Объединяя оба условия: $$a \in \left( (-\infty, -4) \cup (0, +\infty) ight) \setminus \left\{ \frac{9}{4} ight\}$$ Это можно записать как: $$a \in (-\infty, -4) \cup \left(0, \frac{9}{4} ight) \cup \left(\frac{9}{4}, +\infty ight)$$

Задание №18Параметры и теория чиселЕГЭ по математике