Question

Решите неравенство:

$$\frac{1}{5^{x}+31}\leq\frac{4}{5^{x+1}-1}$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: введём замену $t = 5^x$, приведём неравенство к рациональному виду и решим его методом интервалов. Заметим, что $x eq -1$ (иначе знаменатель справа обращается в нуль). Обозначим $t = 5^x$, где $t > 0$. Тогда $5^{x+1} = 5 \cdot 5^x = 5t$. Неравенство принимает вид: $$\frac{1}{t+31}\leq\frac{4}{5t-1}$$ Перенесём всё в левую часть: $$\frac{1}{t+31}-\frac{4}{5t-1}\leq 0$$ Приведём к общему знаменателю: $$\frac{5t-1-4(t+31)}{(t+31)(5t-1)}\leq 0$$ Упростим числитель: $$\frac{5t-1-4t-124}{(t+31)(5t-1)}\leq 0$$ $$\frac{t-125}{(t+31)(5t-1)}\leq 0$$ Найдём нули и точки разрыва: $t = -31$, $t = \frac{1}{5}$, $t = 125$. Применим метод интервалов на числовой оси (см. диаграмму): $$t \in (-\infty; -31) \cup \left(\frac{1}{5}; 125 ight]$$ Вернёмся к переменной $x$. Поскольку $t = 5^x > 0$, интервал $(-\infty; -31)$ не даёт решений. Из условия $\frac{1}{5} < 5^x \leq 125$ получаем: $$5^{-1} < 5^x \leq 5^3$$ $$-1 < x \leq 3$$

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике