Question

Найдите все положительные значения $a$, при каждом из которых система уравнений

$$\left\{ \begin{array}{c} |x| + |y| = a \ y = \sqrt{x+4} \end{array} ight.$$

имеет ровно два различных решения.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: проанализировать пересечение графика корня (сдвинутого влево на 4) с ромбом $|x| + |y| = a$, рассмотрев четыре случая в зависимости от знаков переменных.

Рассмотрим уравнение $|x| + |y| = a$ в четырёх областях:

**Случай 1:** $x \geq 0$, $y \geq 0$

$$x + y = a \Rightarrow y = -x + a$$

**Случай 2:** $x \geq 0$, $y < 0$

$$x - y = a \Rightarrow y = x - a$$

**Случай 3:** $x < 0$, $y \geq 0$

$$-x + y = a \Rightarrow y = x + a$$

**Случай 4:** $x < 0$, $y < 0$

$$-x - y = a \Rightarrow y = -x - a$$

Уравнение $|x| + |y| = a$ задаёт ромб с вершинами в точках $(a, 0)$, $(0, a)$, $(-a, 0)$, $(0, -a)$.

График функции $y = \sqrt{x+4}$ определён при $x \geq -4$ и представляет собой ветвь параболы, сдвинутую влево на 4 единицы. Поскольку $y = \sqrt{x+4} \geq 0$, график лежит в верхней полуплоскости.

Пересечение возможно только в случаях 1 и 3 (где $y \geq 0$).

**Анализ случая 1** ($x \geq 0$, $y \geq 0$):

Подставим $y = -x + a$ в $y = \sqrt{x+4}$:

$$-x + a = \sqrt{x+4}$$

Это уравнение имеет решение только при $-x + a \geq 0$, то есть $x \leq a$. Возведём в квадрат:

$$(-x + a)^2 = x + 4$$

$$x^2 - 2ax + a^2 = x + 4$$

$$x^2 - (2a+1)x + a^2 - 4 = 0$$

Дискриминант:

$$D = (2a+1)^2 - 4(a^2 - 4) = 4a^2 + 4a + 1 - 4a^2 + 16 = 4a + 17$$

При $D = 0$ получаем $4a + 17 = 0$, откуда $a = -\frac{17}{4}$ (отрицательное, не подходит).

**Анализ случая 3** ($x < 0$, $y \geq 0$):

Подставим $y = x + a$ в $y = \sqrt{x+4}$:

$$x + a = \sqrt{x+4}$$

Возведём в квадрат (при условии $x + a \geq 0$):

$$(x + a)^2 = x + 4$$

$$x^2 + 2ax + a^2 = x + 4$$

$$x^2 + (2a - 1)x + a^2 - 4 = 0$$

Дискриминант:

$$D = (2a-1)^2 - 4(a^2 - 4) = 4a^2 - 4a + 1 - 4a^2 + 16 = -4a + 17$$

При $D = 0$ получаем $-4a + 17 = 0$, откуда $a = \frac{17}{4}$.

Когда дискриминант равен нулю, уравнение имеет ровно одно решение в этом случае. Геометрически это означает, что прямая $y = x + a$ касается кривой $y = \sqrt{x+4}$.

При $a = \frac{17}{4}$ система имеет ровно два решения: одно из касания в случае 3 и одно из пересечения в случае 1 (или наоборот, в зависимости от конфигурации).

Задание №18Параметры и теория чиселЕГЭ по математике