Question

Найдите точку минимума функции $y = -\frac{x}{x^2 + 256}$.

Accepted Answer

16

Answer

Идея решения: найти критические точки через производную, определить их характер по знакам производной. Вычислим производную, применяя правило дифференцирования частного: $$y' = \frac{(-x)' \cdot (x^2 + 256) - (-x) \cdot (x^2 + 256)'}{(x^2 + 256)^2}$$ $$y' = \frac{-(x^2 + 256) + 2x^2}{(x^2 + 256)^2}$$ $$y' = \frac{x^2 - 256}{(x^2 + 256)^2}$$ Приравняем производную к нулю: $$\frac{x^2 - 256}{(x^2 + 256)^2} = 0$$ Знаменатель всегда положителен, поэтому достаточно решить уравнение числителя: $$x^2 - 256 = 0$$ $$x^2 = 256$$ $$x = \pm 16$$ Исследуем знак производной на интервалах: - При $x < -16$: $x^2 > 256$, поэтому $y' > 0$ (функция возрастает). - При $-16 < x < 16$: $x^2 < 256$, поэтому $y' < 0$ (функция убывает). - При $x > 16$: $x^2 > 256$, поэтому $y' > 0$ (функция возрастает). В точке $x = -16$ производная меняет знак с плюса на минус — это точка максимума. В точке $x = 16$ производная меняет знак с минуса на плюс — это точка минимума.

Задание №12Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике