Question

Найдите наибольшее значение функции $y = 11 + 6x - 4x\sqrt{x}$ на отрезке $[0; 21]$.

Accepted Answer

13

Answer

Идея решения: найти критические точки через производную, проверить значения на концах отрезка и в критической точке. Вычислим производную: $$y' = (11 + 6x - 4x^{3/2})' = 6 - 4 \cdot \frac{3}{2}x^{1/2} = 6 - 6\sqrt{x}$$ Приравняем производную к нулю: $$6 - 6\sqrt{x} = 0$$ $$6(1 - \sqrt{x}) = 0$$ $$\sqrt{x} = 1$$ $$x = 1$$ Используя метод интервалов, определяем знак производной: - при $x < 1$: $y' > 0$ (функция возрастает); - при $x > 1$: $y' < 0$ (функция убывает). Следовательно, $x = 1$ — точка максимума на отрезке. Вычислим значение функции в критической точке: $$y(1) = 11 + 6 \cdot 1 - 4 \cdot 1 \cdot \sqrt{1} = 11 + 6 - 4 = 13$$ Проверим значения на концах отрезка: $$y(0) = 11 + 0 - 0 = 11$$ $$y(21) = 11 + 6 \cdot 21 - 4 \cdot 21 \cdot \sqrt{21} = 11 + 126 - 84\sqrt{21} \approx 11 + 126 - 385 < 0$$ Наибольшее значение равно 13.

Задание №12Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике