Question

Дан остроугольный треугольник $ABC$. Известно, что $\angle BAC = 2\angle ABC$. Точка $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$. Вокруг треугольника $AOC$ описана окружность, которая пересекает сторону $BC$ в точке $P$.

а) Докажите, что треугольники $ABC$ и $PAC$ подобны.

б) Найдите $AB$, если $BC = \sqrt{21}$ и $AC = 3$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: используя свойства центрального и вписанного углов, а также углов, опирающихся на одну дугу окружности, установим равенство соответствующих углов в треугольниках $ABC$ и $PAC$.

**а) Доказательство подобия**

Обозначим $\angle CAB = 2\alpha$, тогда $\angle CBA = \alpha$.

Угол $\angle COA$ — центральный угол, опирающийся на дугу $CA$, а угол $\angle CBA$ — вписанный угол, опирающийся на ту же дугу. По теореме о центральном и вписанном углах:

$$\angle COA = 2\angle CBA = 2\alpha$$

Углы $\angle COA$ и $\angle CPA$ опираются на одну и ту же дугу $CA$ окружности, описанной вокруг треугольника $AOC$. Следовательно:

$$\angle CPA = \angle COA = 2\alpha$$

Сравним углы треугольников $ABC$ и $PAC$:
- угол $C$ — общий;
- $\angle CPA = 2\alpha = \angle CAB$.

По признаку подобия по двум углам: $	riangle ABC \sim 	riangle PAC$.

**б) Нахождение $AB$**

Из подобия треугольников $ABC$ и $PAC$ следует пропорциональность сторон:

$$\frac{BC}{AC} = \frac{AC}{PC}$$

Найдём $PC$:

$$PC = \frac{AC^2}{BC} = \frac{9}{\sqrt{21}} = \frac{9\sqrt{21}}{21} = \frac{3\sqrt{21}}{7}$$

Из подобия также получаем $\angle PAC = \angle CBA = \alpha$, что означает: $AP$ — биссектриса угла $\angle BAC$.

По свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника:

$$\frac{AB}{PB} = \frac{AC}{CP}$$

Следовательно:

$$AB = \frac{PB \cdot AC}{CP} = \frac{(BC - PC) \cdot AC}{CP}$$

$$AB = \frac{\left(\sqrt{21} - \frac{3\sqrt{21}}{7}ight) \cdot 3}{\frac{3\sqrt{21}}{7}} = \frac{\frac{4\sqrt{21}}{7} \cdot 3}{\frac{3\sqrt{21}}{7}} = 4$$

Задание №17ПланиметрияЕГЭ по математике