Question

Вычислите значение выражения $2\sqrt{3}\cos^{2}\frac{13\pi}{12}-\sqrt{3}$.

Accepted Answer

1,5

Answer

Идея решения: применить формулу понижения степени для косинуса в квадрате.

Используем тождество $\cos^{2}\alpha = \frac{1+\cos 2\alpha}{2}$:

$$2\sqrt{3}\cos^{2}\frac{13\pi}{12}-\sqrt{3}=2\sqrt{3}\cdot\frac{1+\cos\frac{13\pi}{6}}{2}-\sqrt{3}$$

Упростим:

$$=\sqrt{3}\left(1+\cos\frac{13\pi}{6}\right)-\sqrt{3}$$

Найдём $\cos\frac{13\pi}{6}$. Заметим, что $\frac{13\pi}{6}=2\pi+\frac{\pi}{6}$, поэтому:

$$\cos\frac{13\pi}{6}=\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Подставим:

$$=\sqrt{3}\left(1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right)-\sqrt{3}=\sqrt{3}+\frac{3}{2}-\sqrt{3}=\frac{3}{2}$$

Задание №7Числа, выражения и тождественные преобразованияЕГЭ по математике