Question

Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону:

$$\varphi = \omega t + \frac{\beta t^2}{2}$$

где $t$ — время в минутах, прошедшее после начала работы лебёдки, $\omega = 15$ град./мин — начальная угловая скорость вращения катушки, $\beta = 6$ град./мин² — угловое ускорение. Найдите время, прошедшее после начала работы лебёдки, если угол намотки $\varphi$ достиг $2250°$.

Accepted Answer

25

Answer

Идея решения: подставить известные значения в формулу закона изменения угла и решить полученное квадратное уравнение.

Подставим в формулу угла значения $\varphi = 2250°$, $\omega = 15$ град./мин и $\beta = 6$ град./мин²:

$$2250 = 15t + \frac{6t^2}{2}$$

Упростим:

$$2250 = 15t + 3t^2$$

Перенесём все в левую часть:

$$3t^2 + 15t - 2250 = 0$$

Разделим на 3:

$$t^2 + 5t - 750 = 0$$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$$D = 25 + 3000 = 3025 = 55^2$$

$$t = \frac{-5 \pm 55}{2}$$

Получаем два корня:

$$t_1 = \frac{-5 + 55}{2} = \frac{50}{2} = 25$$

$$t_2 = \frac{-5 - 55}{2} = \frac{-60}{2} = -30$$

Так как время не может быть отрицательным, $t = 25$ минут.

Задание №9Числа, выражения и тождественные преобразованияЕГЭ по математике