Question

Вычислите $3\sin\frac{13\pi}{12}\cdot\cos\frac{13\pi}{12}$.

Accepted Answer

0,75

Answer

Идея решения: применить формулу двойного угла для синуса, чтобы свести произведение синуса и косинуса к одной тригонометрической функции.

Воспользуемся тождеством $2\sin\alpha\cdot\cos\alpha=\sin 2\alpha$.

$$3\sin\frac{13\pi}{12}\cdot\cos\frac{13\pi}{12}=\frac{3}{2}\left(2\sin\frac{13\pi}{12}\cdot\cos\frac{13\pi}{12}\right)$$

$$=\frac{3}{2}\sin\left(2\cdot\frac{13\pi}{12}\right)=\frac{3}{2}\sin\frac{13\pi}{6}$$

Приведём аргумент синуса к стандартному диапазону:

$$\frac{13\pi}{6}=\frac{12\pi+\pi}{6}=2\pi+\frac{\pi}{6}$$

Используя периодичность синуса:

$$\frac{3}{2}\sin\left(2\pi+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{3}{2}\sin\frac{\pi}{6}$$

$$=\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{3}{4}=0{,}75$$

Задание №7Числа, выражения и тождественные преобразованияЕГЭ по математике