Question

а) Решите уравнение: $2\cos^3 x + \sqrt{2}\sin^2 x = 2\cos x$.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\frac{5\pi}{2}; 4\pi\right]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: заменить $\sin^2 x$ через $\cos^2 x$, привести к произведению множителей и решить каждое уравнение отдельно.

**а) Решение уравнения**

Заменим $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$:

$$2\cos^3 x + \sqrt{2}(1 - \cos^2 x) - 2\cos x = 0$$

Перегруппируем:

$$2\cos^3 x - 2\cos x + \sqrt{2} - \sqrt{2}\cos^2 x = 0$$

$$-2\cos x(1 - \cos^2 x) + \sqrt{2}(1 - \cos^2 x) = 0$$

Вынесем общий множитель:

$$(\sqrt{2} - 2\cos x)(1 - \cos^2 x) = 0$$

Получаем два случая.

**Случай 1:** $\sqrt{2} - 2\cos x = 0$

$$\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

$$x = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

**Случай 2:** $1 - \cos^2 x = 0$

$$(1 - \cos x)(1 + \cos x) = 0$$

Подслучай 2.1: $\cos x = 1$

$$x = 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Подслучай 2.2: $\cos x = -1$

$$x = \pi + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Объединяя подслучаи 2.1 и 2.2:

$$x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

**Общее решение:**

$$x = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}; \quad x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

**б) Отбор корней на отрезке $\left[\frac{5\pi}{2}; 4\pi\right]$**

Из семейства $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$:

При $n = 1$: $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4}$ — принадлежит отрезку, так как $\frac{5\pi}{2} = \frac{10\pi}{4} < \frac{9\pi}{4}$ неверно. Проверим: $\frac{9\pi}{4} = 2{,}25\pi < 2{,}5\pi$, не подходит.

При $n = 2$: $x = \frac{\pi}{4} + 4\pi = \frac{17\pi}{4}$ — проверим: $\frac{17\pi}{4} = 4{,}25\pi > 4\pi$, не подходит.

Из семейства $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n$:

При $n = 2$: $x = -\frac{\pi}{4} + 4\pi = \frac{15\pi}{4}$ — проверим: $\frac{5\pi}{2} = \frac{10\pi}{4}$, $4\pi = \frac{16\pi}{4}$. Имеем $\frac{10\pi}{4} < \frac{15\pi}{4} < \frac{16\pi}{4}$ ✓

Из семейства $x = \pi n$:

При $n = 2$: $x = 2\pi$ — не подходит.

При $n = 3$: $x = 3\pi$ — проверим: $\frac{5\pi}{2} = 2{,}5\pi < 3\pi < 4\pi$ ✓

При $n = 4$: $x = 4\pi$ — принадлежит отрезку ✓

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/TyJDlUDRsG66SpWy4fsIXcc0Ev6nFYDTB8fpdueM.jpg)

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/HAXjTkreoVFkCn8oHgBLLJ9e5NMF7xcJxQ2MFcNy.jpg)

Задание №13УравненияЕГЭ по математике