Question

Решите неравенство:

$$\frac{4}{3^{x}-27}\geq\frac{1}{3^{x}-9}$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: введём замену переменной, приведём дроби к общему знаменателю и применим метод интервалов. Обозначим $t = 3^{x}$. Неравенство принимает вид: $$\frac{4}{t-27}\geq\frac{1}{t-9}$$ Перенесём правую часть влево: $$\frac{4}{t-27}-\frac{1}{t-9}\geq 0$$ Приведём к общему знаменателю: $$\frac{4(t-9)-(t-27)}{(t-27)(t-9)}\geq 0$$ Упростим числитель: $$\frac{4t-36-t+27}{(t-27)(t-9)}\geq 0$$ $$\frac{3t-9}{(t-27)(t-9)}\geq 0$$ Разложим числитель: $$\frac{3(t-3)}{(t-27)(t-9)}\geq 0$$ Применим метод интервалов. Критические точки: $t = 3$, $t = 9$, $t = 27$. Анализируя знаки на каждом промежутке (см. диаграмму), получаем: $$t \in [3;9) \cup (27;+\infty)$$ Вернёмся к исходной переменной. Из условия $t = 3^{x}$ имеем: $$3^{x} \geq 3 ext{ и } 3^{x} < 9 \quad ext{или} \quad 3^{x} > 27$$ $$3^{x} \geq 3^{1} ext{ и } 3^{x} < 3^{2} \quad ext{или} \quad 3^{x} > 3^{3}$$ $$x \geq 1 ext{ и } x < 2 \quad ext{или} \quad x > 3$$ $$x \in [1;2) \cup (3;+\infty)$$

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике