Question

а) Решите уравнение $6\log_8^2 x - 5\log_8 x + 1 = 0$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[2; 2{,}5]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: применить замену переменной для сведения логарифмического уравнения к квадратному.

**а) Решение основного уравнения**

Область определения: $x > 0$.

Введём замену $\log_8 x = t$. Уравнение принимает вид:

$$6t^2 - 5t + 1 = 0$$

Вычислим дискриминант:

$$D = 25 - 24 = 1$$

Найдём корни:

$$t = \frac{5 \pm 1}{12}$$

$$t_1 = \frac{1}{2}, \quad t_2 = \frac{1}{3}$$

Вернёмся к исходной переменной.

При $\log_8 x = \frac{1}{2}$:

$$x = 8^{1/2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$

При $\log_8 x = \frac{1}{3}$:

$$x = 8^{1/3} = 2$$

**б) Отбор корней на отрезке**

Проверим, какие из найденных корней принадлежат $[2; 2{,}5]$.

Сравним $2\sqrt{2}$ с границами отрезка. Возведём в квадрат:
- $2^2 = 4$
- $2{,}5^2 = 6{,}25$
- $(2\sqrt{2})^2 = 8$

Поскольку $8 > 6{,}25$, имеем $2\sqrt{2} > 2{,}5$, поэтому $2\sqrt{2}$ не входит в отрезок.

Корень $x = 2$ совпадает с левой границей отрезка, следовательно, принадлежит ему.

Задание №13УравненияЕГЭ по математике