Question

Найдите точку максимума функции $y = 9 \cdot \ln(x - 4) - 9x - 7$.

Accepted Answer

5

Answer

Идея решения: найти критическую точку через производную и проверить её характер с помощью анализа знаков. Вычислим производную: $$y' = \frac{9}{x - 4} - 9$$ Приравняем производную к нулю: $$\frac{9}{x - 4} - 9 = 0$$ $$\frac{9}{x - 4} = 9$$ $$9 = 9(x - 4)$$ $$9 = 9x - 36$$ $$45 = 9x$$ $$x = 5$$ Исследуем знак производной методом интервалов. При $x < 5$ (например, $x = 4{,}5$): $y' = \frac{9}{0{,}5} - 9 = 18 - 9 = 9 > 0$. При $x > 5$ (например, $x = 6$): $y' = \frac{9}{2} - 9 = 4{,}5 - 9 = -4{,}5 < 0$. Производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, $x = 5$ — точка максимума.

Задание №12Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике