Question

На рисунке изображён график функции $y = f(x)$ . Известно, что $F(x) = \frac{1}{2}x^3 - \frac{9}{2}x^2 + 15x - 5$ — одна из первообразных функции $f(x)$ . Найдите площадь закрашенной фигуры.

Рисунок

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/6rT8NNZAMS0tTF3Kdw10EM3Ew10QFgYC9lrKMK9p.jpg)

Accepted Answer

7

Answer

Идея решения: площадь фигуры под кривой вычисляется как разность значений первообразной на концах интервала интегрирования.

По графику видно, что закрашенная область ограничена абсциссами $x = 1$ и $x = 3$. Площадь этой фигуры равна:

$$S = F(3) - F(1)$$

Вычислим $F(3)$:

$$F(3) = \frac{1}{2} \cdot 3^3 - \frac{9}{2} \cdot 3^2 + 15 \cdot 3 - 5 = \frac{27}{2} - \frac{81}{2} + 45 - 5 = \frac{27 - 81}{2} + 40 = -27 + 40 = 13$$

Вычислим $F(1)$:

$$F(1) = \frac{1}{2} \cdot 1^3 - \frac{9}{2} \cdot 1^2 + 15 \cdot 1 - 5 = \frac{1}{2} - \frac{9}{2} + 15 - 5 = \frac{1 - 9}{2} + 10 = -4 + 10 = 6$$

Найдём площадь:

$$S = F(3) - F(1) = 13 - 6 = 7$$

Задание №8Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике