Question

Найдите точку минимума функции $y = x^{\frac{3}{2}} – 18x + 29$.

Accepted Answer

144

Answer

Идея решения: найти критические точки через производную и определить, где функция достигает минимума. Вычислим производную: $$y'(x) = \frac{3}{2} \cdot x^{\frac{1}{2}} – 18 = \frac{3}{2}\sqrt{x} – 18$$ Приравняем производную к нулю: $$\frac{3}{2}\sqrt{x} – 18 = 0$$ $$\frac{3}{2}\sqrt{x} = 18$$ $$\sqrt{x} = 12$$ $$x = 144$$ Проанализируем знак производной. При $0 < x < 144$ имеем $\sqrt{x} < 12$, поэтому $y'(x) < 0$ (функция убывает). При $x > 144$ имеем $\sqrt{x} > 12$, поэтому $y'(x) > 0$ (функция возрастает). Производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, $x = 144$ — точка минимума.

Задание №12Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике