Question

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение

$$\frac{(a - x - 4)(a^2 + x^2 - 10)}{\sqrt{-6x - x^2}} = 0$$

имеет хотя бы одно решение.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: найти область допустимых значений переменной $x$, затем определить, при каких значениях параметра $a$ хотя бы один из множителей числителя обращается в нуль внутри этой области. **Шаг 1. Область допустимых значений.** Подкоренное выражение должно быть положительно: $$-6x - x^2 > 0$$ $$-x(x + 6) > 0$$ $$x(x + 6) < 0$$ Отсюда $x \in (-6; 0)$. **Шаг 2. Условие обращения числителя в нуль.** Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю: $$(a - x - 4)(a^2 + x^2 - 10) = 0$$ Это даёт два случая. **Случай 1:** $a - x - 4 = 0$, откуда $x = a - 4$. Для попадания в ОДЗ требуется: $$-6 < a - 4 < 0$$ $$-2 < a < 4$$ **Случай 2:** $a^2 + x^2 - 10 = 0$, откуда $x^2 = 10 - a^2$. Для существования решения необходимо $10 - a^2 \geq 0$, то есть $a \in [-\sqrt{10}; \sqrt{10}]$. Поскольку $x \in (-6; 0)$, нужно $x < 0$, поэтому: $$x = -\sqrt{10 - a^2}$$ Проверим попадание в ОДЗ: $$-6 < -\sqrt{10 - a^2} < 0$$ Левое неравенство: $\sqrt{10 - a^2} < 6$, откуда $10 - a^2 < 36$, то есть $a^2 > -26$ (выполняется всегда). Правое неравенство: $-\sqrt{10 - a^2} < 0$ выполняется при $a^2 < 10$. Таким образом, из второго случая получаем решение при $a \in (-\sqrt{10}; \sqrt{10})$. **Шаг 3. Совпадение решений.** Проверим, когда оба множителя обращаются в нуль одновременно: $$a - 4 = -\sqrt{10 - a^2}$$ Возведём в квадрат (при условии $a - 4 \leq 0$, то есть $a \leq 4$): $$(a - 4)^2 = 10 - a^2$$ $$a^2 - 8a + 16 = 10 - a^2$$ $$2a^2 - 8a + 6 = 0$$ $$a^2 - 4a + 3 = 0$$ $$(a - 1)(a - 3) = 0$$ Получаем $a = 1$ или $a = 3$. Оба значения удовлетворяют условию $a \leq 4$. **Шаг 4. Анализ по областям.** - При $a \in (-2; 1)$: первый множитель даёт решение $x = a - 4 \in (-6; -3)$, второй даёт $x = -\sqrt{10 - a^2} \in (-\sqrt{10}; -3)$ — два различных решения. - При $a = 1$: оба множителя дают одно и то же решение $x = -3$ — одно решение. - При $a \in (1; 3)$: первый множитель даёт решение, второй даёт другое решение — два решения. - При $a = 3$: оба множителя дают одно и то же решение $x = -1$ — одно решение. - При $a \in (3; \sqrt{10})$: первый множитель даёт решение, второй даёт другое решение — два решения. - При $a = \sqrt{10}$: первый множитель даёт решение $x = \sqrt{10} - 4 \in (-6; 0)$, второй даёт $x = 0$ (граница ОДЗ, не входит) — одно решение. - При $a \in (\sqrt{10}; 4)$: первый множитель даёт решение, второй не даёт решений в ОДЗ — одно решение. - При $a \in (-\sqrt{10}; -2)$: первый множитель не даёт решений, второй даёт — одно решение. - При $a = -\sqrt{10}$: второй множитель даёт $x = 0$ (граница ОДЗ, не входит) — нет решений. - При $a \geq 4$ или $a < -\sqrt{10}$: нет решений. **Шаг 5. Итоговый ответ.** Уравнение имеет хотя бы одно решение при: $$a \in (-\sqrt{10}; -2) \cup (-2; 4) \cup (\sqrt{10}; 4) = (-\sqrt{10}; 4)$$ Однако нужно исключить точку $a = -\sqrt{10}$, где решений нет. Окончательно: $a \in (-\sqrt{10}; 4)$.

Задание №18Параметры и теория чиселЕГЭ по математике