Question

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение 
$$\sqrt{x^2 - a^2} = \sqrt{4x^2 - (4a - 2)x + 2a}$$
на отрезке $[0; 1]$ имеет ровно один корень.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: приравняем подкоренные выражения, найдём корни квадратного уравнения, определим, при каких значениях параметра каждый корень попадает в отрезок $[0; 1]$ и удовлетворяет ограничениям, затем выберем те $a$, при которых ровно один корень остаётся.

**Шаг 1. Область определения**

Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательны:
$$x^2 - a^2 \geq 0 \quad \Rightarrow \quad (x - a)(x + a) \geq 0$$

**Шаг 2. Приравнивание подкоренных выражений**

Возведём обе части в квадрат:
$$x^2 - a^2 = 4x^2 - (4a - 2)x + 2a$$

Перенесём всё в левую часть:
$$x^2 - a^2 - 4x^2 + (4a - 2)x - 2a = 0$$

$$-3x^2 + (4a - 2)x - a^2 - 2a = 0$$

Умножим на $-1$:
$$3x^2 - (4a + 2)x + a^2 + 2a = 0$$

**Шаг 3. Вычисление дискриминанта**

$$D = (4a + 2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (a^2 + 2a)$$

$$= 16a^2 + 16a + 4 - 12a^2 - 24a = 4a^2 - 8a + 4$$

$$= 4(a^2 - 2a + 1) = 4(a - 1)^2 = (2a - 2)^2$$

**Шаг 4. Корни уравнения**

$$x_1 = \frac{(4a + 2) - (2a - 2)}{6} = \frac{2a + 4}{6} = \frac{a + 2}{3}$$

$$x_2 = \frac{(4a + 2) + (2a - 2)}{6} = \frac{6a}{6} = a$$

**Шаг 5. Условия на корень $x_1 = \frac{a + 2}{3}$**

Корень $x_1$ принадлежит отрезку $[0; 1]$ и удовлетворяет ограничению $(x - a)(x + a) \geq 0$:

$$\begin{cases}
0 \leq \frac{a + 2}{3} \leq 1 \
\left(\frac{a + 2}{3} - aight)\left(\frac{a + 2}{3} + aight) \geq 0
\end{cases}$$

Из первого условия: $0 \leq a + 2 \leq 3$, откуда $-2 \leq a \leq 1$.

Для второго условия:
$$\frac{a + 2 - 3a}{3} \cdot \frac{a + 2 + 3a}{3} \geq 0$$

$$\frac{2 - 2a}{3} \cdot \frac{4a + 2}{3} \geq 0$$

$$(2 - 2a)(4a + 2) \geq 0$$

$$-2(a - 1) \cdot 2(2a + 1) \geq 0$$

$$(a - 1)(2a + 1) \leq 0$$

Это даёт $a \in [-\frac{1}{2}; 1]$.

Пересечение: $a \in [-\frac{1}{2}; 1]$.

**Шаг 6. Условия на корень $x_2 = a$**

Корень $x_2$ принадлежит отрезку $[0; 1]$ и удовлетворяет ограничению:

$$\begin{cases}
0 \leq a \leq 1 \
(a - a)(a + a) \geq 0
\end{cases}$$

Второе условие: $0 \geq 0$ — всегда верно.

Итак, $x_2$ — корень при $a \in [0; 1]$.

**Шаг 7. Совпадение корней**

Корни совпадают, если $\frac{a + 2}{3} = a$:
$$a + 2 = 3a \quad \Rightarrow \quad a = 1$$

**Шаг 8. Анализ количества корней на $[0; 1]$**

- При $a \in [-\frac{1}{2}; 0)$: только $x_1$ входит в $[0; 1]$ — **один корень**.
- При $a = 0$: $x_1 = \frac{2}{3}$, $x_2 = 0$ — оба в $[0; 1]$ — **два корня**.
- При $a \in (0; 1)$: оба корня в $[0; 1]$ — **два корня**.
- При $a = 1$: $x_1 = x_2 = 1$ — **один корень**.

Задание №18Параметры и теория чиселЕГЭ по математике