Question

Решите неравенство:

$$\log_{49}(x+4) + \log_{(x^2+8x+16)}\sqrt{7} \leq -\frac{3}{4}$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: применить формулу перехода к новому основанию логарифма, упростить выражение через замену переменной и решить рациональное неравенство. Преобразуем второй логарифм по формуле $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$: $$\log_{49}(x+4) + \frac{\log_{49}\sqrt{7}}{\log_{49}(x^2+8x+16)} \leq -\frac{3}{4}$$ Заметим, что $x^2 + 8x + 16 = (x+4)^2$. Найдём область допустимых значений: $$\begin{cases} x + 4 > 0 \ (x+4)^2 > 0 \ (x+4)^2 eq 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -4 \ x eq -4 \ x eq -5, \, x eq -3 \end{cases}$$ Упростим логарифмы в неравенстве. Так как $49 = 7^2$ и $\sqrt{7} = 7^{1/2}$: $$\log_{49}\sqrt{7} = \log_{7^2}7^{1/2} = \frac{1/2}{2} \cdot \log_7 7 = \frac{1}{4}$$ $$\log_{49}(x^2+8x+16) = \log_{49}(x+4)^2 = 2\log_{49}|x+4|$$ При $x > -4$ имеем $|x+4| = x+4$, поэтому: $$\log_{49}(x+4) + \frac{1/4}{2\log_{49}(x+4)} \leq -\frac{3}{4}$$ $$\log_{49}(x+4) + \frac{1}{8\log_{49}(x+4)} \leq -\frac{3}{4}$$ Обозначим $t = \log_{49}(x+4)$: $$t + \frac{1}{8t} + \frac{3}{4} \leq 0$$ $$\frac{8t^2 + 6t + 1}{8t} \leq 0$$ Найдём корни числителя: $8t^2 + 6t + 1 = 0$ $$t = \frac{-6 \pm \sqrt{36-32}}{16} = \frac{-6 \pm 2}{16}$$ $$t_1 = -\frac{1}{2}, \quad t_2 = -\frac{1}{4}$$ Методом интервалов: $$t \in \left(-\infty; -\frac{1}{2} ight] \cup \left[-\frac{1}{4}; 0 ight)$$ Вернёмся к переменной $x$: **Случай 1:** $\log_{49}(x+4) \leq -\frac{1}{2}$ $$x + 4 \leq 49^{-1/2} = \frac{1}{7}$$ $$x \leq -\frac{27}{7}$$ С учётом $x > -4$: $x \in \left(-4; -\frac{27}{7} ight]$ **Случай 2:** $-\frac{1}{4} \leq \log_{49}(x+4) < 0$ $$49^{-1/4} \leq x+4 < 1$$ $$\frac{1}{\sqrt{7}} \leq x+4 < 1$$ $$\frac{\sqrt{7}}{7} - 4 \leq x < -3$$ Так как $\frac{\sqrt{7}}{7} \approx 0{,}378$, то $\frac{\sqrt{7}}{7} - 4 \approx -3{,}622 > -4$. Получаем: $x \in \left[\frac{\sqrt{7}}{7} - 4; -3 ight)$ Объединяя оба случая и учитывая ограничение $x eq -3$: $$x \in \left(-4; -\frac{27}{7} ight] \cup \left[\frac{\sqrt{7}}{7} - 4; -3 ight)$$

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике