Question

В правильной треугольной пирамиде $SABC$ сторона основания $AB$ равна 6, а боковое ребро $SA$ равна 7. На ребре $AC$ отмечена точка $M$, а на продолжении ребра $BC$ за точку $C$ — точка $N$ так, что $CM = CN = 2$.

а) Докажите, что сечение пирамиды $SABC$ плоскостью $SNM$ является равнобедренным треугольником.

б) Найдите площадь сечения пирамиды $SABC$ плоскостью $SNM$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: применить теорему Менелая для нахождения точки пересечения прямой $MN$ с ребром основания, затем использовать равенство треугольников для доказательства равнобедренности сечения и вычислить его площадь через косинус угла.

**а) Доказательство**

Обозначим точку пересечения прямой $MN$ с ребром $AB$ как $L$.

Поскольку основание пирамиды — правильный треугольник, имеем $AC = AB = BC = 6$. Тогда $AM = AC - CM = 6 - 2 = 4$.

Применим теорему Менелая для треугольника $ABC$ и прямой $LMN$:

$$\frac{CM}{MA} \cdot \frac{AL}{LB} \cdot \frac{BN}{NC} = 1$$

Подставим известные значения. Так как $N$ лежит на продолжении $BC$ за точку $C$, то $BN = BC + CN = 6 + 2 = 8$.

$$\frac{2}{4} \cdot \frac{AL}{LB} \cdot \frac{8}{2} = 1$$

$$\frac{1}{2} \cdot \frac{AL}{LB} \cdot 4 = 1 \Rightarrow \frac{AL}{LB} = \frac{1}{2}$$

Следовательно, $AL = 2$ и $LB = 4$.

Рассмотрим треугольники $SAL$ и $SCM$. В правильной пирамиде все боковые рёбра равны: $SA = SC = 7$. Кроме того, $AL = MC = 2$. Углы $\angle SAL$ и $\angle SCM$ равны как углы при основании равнобедренных треугольников $SAB$ и $SCB$ соответственно (оба равны $60°$, так как основание — правильный треугольник).

По признаку равенства треугольников (две стороны и угол между ними) получаем $	riangle SAL = 	riangle SCM$. Следовательно, $SL = SM$.

Таким образом, треугольник $SLM$ равнобедренный, что и требовалось доказать.

**б) Вычисление площади**

Найдём $\cos \angle SAL$ по теореме косинусов в треугольнике $SAB$:

$$SB^2 = SA^2 + AB^2 - 2 \cdot SA \cdot AB \cdot \cos \angle SAB$$

$$49 = 49 + 36 - 2 \cdot 7 \cdot 6 \cdot \cos \angle SAL$$

$$0 = 36 - 84 \cos \angle SAL \Rightarrow \cos \angle SAL = \frac{3}{7}$$

Поскольку $	riangle SAL = 	riangle SCM$, имеем $\cos \angle SCM = \frac{3}{7}$.

По теореме косинусов в треугольнике $SCM$:

$$SM^2 = SC^2 + CM^2 - 2 \cdot SC \cdot CM \cdot \cos \angle SCM$$

$$SM^2 = 49 + 4 - 2 \cdot 7 \cdot 2 \cdot \frac{3}{7} = 53 - 12 = 41$$

Следовательно, $SM = SL = \sqrt{41}$.

Найдём $LM$ по теореме косинусов в треугольнике $ALM$. Угол $\angle LAM = 60°$ (угол правильного треугольника):

$$LM^2 = AL^2 + AM^2 - 2 \cdot AL \cdot AM \cdot \cos 60° = 4 + 16 - 2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} = 20 - 8 = 12$$

$$LM = 2\sqrt{3}$$

В равнобедренном треугольнике $SLM$ высота $SH$, опущенная из вершины $S$ на основание $LM$, проходит через середину $LM$. Тогда $LH = \sqrt{3}$.

По теореме Пифагора в треугольнике $SLH$:

$$SH^2 = SL^2 - LH^2 = 41 - 3 = 38$$

$$SH = \sqrt{38}$$

Площадь треугольника $SLM$:

$$S_{SLM} = \frac{1}{2} \cdot LM \cdot SH = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{38} = \sqrt{3 \cdot 38} = \sqrt{114}$$

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/T19JZU6WwiMUKjbac8UJa0CqlcfrYP4pOp8yhsZ1.jpg)

Задание №14СтереометрияЕГЭ по математике