Question

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с $AC = BC$ высота $CH$ равна $19{,}2$ , а $\cos A = \frac{7}{25}$ . Найдите длину боковой стороны $AC$ .

Рисунок

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/twDe2IG9v9dvbwrq59mWd7eB3ZZCKxqPzaCh4u7h.jpg)

Accepted Answer

20

Answer

Идея решения: найти синус угла $A$ из основного тригонометрического тождества, затем применить определение синуса в прямоугольном треугольнике $ACH$.

Применим основное тригонометрическое тождество:

$$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$$

Подставим $\cos A = \frac{7}{25}$:

$$\sin^2 A + \frac{49}{625} = 1$$

$$\sin^2 A = \frac{576}{625}$$

$$\sin A = \frac{24}{25}$$

(берём положительное значение, так как $A$ — острый угол треугольника).

В прямоугольном треугольнике $ACH$ (где $\angle AHC = 90°$) высота $CH$ является противолежащим катетом к углу $A$, а гипотенуза — это $AC$. По определению синуса:

$$\sin A = \frac{CH}{AC}$$

$$\frac{24}{25} = \frac{19{,}2}{AC}$$

$$AC = \frac{19{,}2 \cdot 25}{24} = \frac{480}{24} = 20$$

Задание №1ПланиметрияЕГЭ по математике