Question

На доске написано 10 различных натуральных чисел. Известно, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести чисел является целым числом. Одно из записанных чисел равно 300322.

а) Может ли среди написанных на доске чисел быть число 312?

Accepted Answer

Answer

Идея решения: если среднее арифметическое любых трёх чисел целое, то разность сумм троек, содержащих два фиксированных числа и третье переменное, должна делиться на 3.

Обозначим через $A_1$ среднее арифметическое некоторой тройки, включающей число 300322, и через $A_2$ — среднее арифметическое тройки, включающей число 312. Пусть $a_1$ и $a_2$ — два других числа, входящих в обе тройки.

Тогда:

$$A_1 = \frac{a_1 + a_2 + 300322}{3}$$

$$A_2 = \frac{a_1 + a_2 + 312}{3}$$

Поскольку $A_1$ и $A_2$ — целые числа, их разность также целая:

$$A_1 - A_2 = \frac{300322 - 312}{3} = \frac{30010}{3}$$

Проверим делимость: $30010 = 3 \cdot 10003 + 1$, поэтому $30010 \equiv 1 \pmod{3}$.

Следовательно, $A_1 - A_2$ не является целым числом, что противоречит условию. Таким образом, число 312 не может находиться на доске.

Задание №19Параметры и теория чиселЕГЭ по математике