Question

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 545 000 рублей. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг увеличивается на 40 % по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года)?

Accepted Answer

Answer

Идея решения: составить таблицу изменения долга по годам, учитывая начисление процентов и платежи, затем найти размер платежа из условия полного погашения после третьего года.

Обозначим $S = 545\,000$ рублей — первоначальная сумма кредита, $x$ рублей — размер ежегодного платежа, $k = 1 + \frac{40}{100} = 1{,}4$ — коэффициент увеличения долга после начисления процентов.

Проследим динамику долга:

| Год | Долг до начисления процентов | Долг после начисления процентов | Платёж |
|-----|------------------------------|--------------------------------|--------|
| 1   | $S$                          | $kS$                           | $x$    |
| 2   | $kS - x$                    | $k^2S - kx$                   | $x$    |
| 3   | $k^2S - kx - x$             | $k^3S - k^2x - kx$            | $x$    |

По условию кредит полностью погашен после третьего платежа:

$$k^3S - k^2x - kx = x$$

Перенесём все члены с $x$ в одну сторону:

$$k^3S = k^2x + kx + x$$

$$k^3S = x(k^2 + k + 1)$$

$$x = \frac{k^3S}{k^2 + k + 1}$$

Заметим, что $k^2 + k + 1 = \frac{k^3 - 1}{k - 1}$ (формула суммы геометрической прогрессии), поэтому:

$$x = \frac{k^3S(k-1)}{k^3 - 1}$$

Подставим числовые значения. Вычислим $k^3 = 1{,}4^3 = 2{,}744$ и $k^3 - 1 = 1{,}744$:

$$x = \frac{545\,000 \cdot 2{,}744 \cdot 0{,}4}{1{,}744} = \frac{545\,000 \cdot 1{,}0976}{1{,}744} = 343\,000$$

Общая сумма, выплаченная банку за три года:

$$3x = 3 \cdot 343\,000 = 1\,029\,000$$

Задание №16Финансовая математика и оптимизацияЕГЭ по математике