Question

Найдите корень уравнения $3^{\log_9(4x+1)} = 9$.

Accepted Answer

20

Answer

Идея решения: привести обе части уравнения к одному основанию, используя свойства логарифмов и степеней.

Преобразуем левую часть. Заметим, что $\log_9(4x+1) = \frac{1}{2} \log_3(4x+1)$, поскольку $9 = 3^2$.

$$3^{\log_9(4x+1)} = 3^{\frac{1}{2} \log_3(4x+1)}$$

По свойству степеней $a^{c \log_a b} = b^c$ получаем:

$$3^{\frac{1}{2} \log_3(4x+1)} = (4x+1)^{\frac{1}{2}}$$

Исходное уравнение принимает вид:

$$(4x+1)^{\frac{1}{2}} = 9$$

Возведём обе части в квадрат:

$$4x + 1 = 81$$

$$4x = 80$$

$$x = 20$$

Задание №6УравненияЕГЭ по математике