Question

В трапеции $ABCD$ основание $AD$ в два раза больше основания $BC$. Внутри трапеции взяли точку $M$ так, что углы $\angle ABM$ и $\angle DCM$ прямые.

а) Докажите, что $AM = DM$.

б) Найдите угол $\angle BAD$, если $\angle ADC = 70°$, а расстояние от точки $M$ до прямой $AD$ равно стороне $BC$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: продлить боковые стороны трапеции до пересечения, заметить, что $BC$ — средняя линия образовавшегося треугольника, и использовать условие перпендикулярности для определения центра описанной окружности.

**а) Доказательство**

Продлим боковые стороны $AB$ и $DC$ до пересечения в точке $K$.

Поскольку $BC = \frac{1}{2}AD$, отрезок $BC$ является средней линией треугольника $AKD$.

Из условия задачи $\angle ABM = 90°$ и $\angle DCM = 90°$, следовательно, $BM \perp AB$ и $CM \perp DC$. Это означает, что $BM$ и $CM$ перпендикулярны сторонам треугольника $AKD$ в точках $B$ и $C$ соответственно.

Поскольку $M$ лежит на перпендикулярах к двум сторонам треугольника $AKD$, проведённых из концов его средней линии, точка $M$ является центром описанной окружности треугольника $AKD$.

Следовательно, $AM = DM = KM$ (радиусы описанной окружности).

**б) Нахождение угла**

Обозначим $O$ — проекцию точки $M$ на прямую $AD$. По условию $MO = BC$.

Треугольник $AMD$ равнобедренный с $AM = DM$. Отрезок $MO$ — высота и медиана этого треугольника, поэтому $AO = OD$.

Из условия $MO = BC = \frac{1}{2}AD$ получаем $MO = AO = OD$. Следовательно, треугольник $AMO$ прямоугольный и равнобедренный, откуда $\angle MAO = 45°$.

Аналогично, $\angle MDO = 45°$.

Из условия $\angle ADC = 70°$ находим:
$$\angle CDM = \angle ADC - \angle MDO = 70° - 45° = 25°$$

Треугольник $MKD$ равнобедренный (так как $KM = DM$), поэтому:
$$\angle MKD = \angle MDK = 25°$$

Треугольник $AKM$ равнобедренный (так как $KM = AM$). Обозначим $\angle AKM = \angle KAM = x$.

Треугольник $AMO$ прямоугольный и равнобедренный, поэтому $\angle MAO = 45°$.

В треугольнике $AKD$ сумма углов равна $180°$:
$$\angle KAD + \angle ADK + \angle AKD = 180°$$

Раскладывая углы:
$$(\angle KAM + \angle MAO) + (\angle MDK + \angle CDM) + (\angle AKM + \angle MKD) = 180°$$

$$x + 45° + 25° + 25° + x + 25° = 180°$$

$$2x + 120° = 180°$$

$$x = 30°$$

Следовательно:
$$\angle BAD = \angle KAM + \angle MAO = 30° + 45° = 75°$$

Задание №17ПланиметрияЕГЭ по математике