Question

Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно 30. На ребре $DC$ отмечена точка $R$ так, что $DR = 10$ , а на ребре $B_1C_1$ отмечена точка $L$ — середина $B_1C_1$ . Плоскость $ALR$ пересекает ребро $CC_1$ в точке $Q$ .

а) Докажите, что $CQ : QC_1 = 4 : 1$ .

б) Найдите расстояние от точки $C$ до плоскости $ALR$ .

а) Докажите, что $CQ : QC_1 = 4 : 1$.

б) Найдите расстояние от точки $C$ до плоскости $ALR$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: построить сечение куба плоскостью $ALR$, найти точку $Q$ на ребре $CC_1$ через подобие треугольников, а затем вычислить расстояние от $C$ до плоскости координатным методом.

**а) Доказательство**

Построим сечение. Продлим прямую $AR$ до пересечения с прямой $BC$ в точке $G$. Прямая $GL$ пересекает $CC_1$ в точке $Q$. Сечение куба плоскостью $ALR$ — это пятиугольник $ARQLK$.

По условию $AB = 30$ и $DR = 10$, поэтому $CR = 20$.

Треугольники $RCG$ и $ABG$ подобны по двум углам (угол $C$ и угол $B$ — прямые, угол $G$ — общий). Коэффициент подобия:

$$k = \frac{RC}{AB} = \frac{20}{30} = \frac{2}{3}$$

Следовательно, $CG = \frac{2}{3} \cdot BC = \frac{2}{3} \cdot 90 = 60$.

Заметим, что $CG \parallel C_1L$ (обе лежат в параллельных плоскостях нижнего и верхнего оснований). Тогда треугольники $CQG$ и $C_1QL$ подобны по двум углам. Коэффициент подобия:

$$k = \frac{CG}{C_1L} = \frac{60}{15} = 4$$

Из подобия получаем:

$$\frac{CQ}{QC_1} = 4$$

Таким образом, $CQ : QC_1 = 4 : 1$, что и требовалось доказать.

**б) Расстояние от точки $C$ до плоскости**

Введём систему координат с началом в точке $D$. Координаты ключевых точек:

$$A(30; 0; 0), \quad R(0; 10; 0), \quad Q(0; 30; 24), \quad C(0; 30; 0)$$

Уравнение плоскости имеет вид $ax + by + cz + d = 0$. Подставим координаты точек $A$, $R$, $Q$:

$$\begin{cases}
30a + d = 0 \
10b + d = 0 \
30b + 24c + d = 0
\end{cases}$$

Положим $d = -30$. Тогда $a = 1$, $b = 3$, $c = -2{,}5$.

Уравнение плоскости:

$$x + 3y - 2{,}5z - 30 = 0$$

или в целых коэффициентах:

$$2x + 6y - 5z - 60 = 0$$

Расстояние от точки $C(0; 30; 0)$ до плоскости:

$$p(C, ALR) = \frac{|2 \cdot 0 + 6 \cdot 30 - 5 \cdot 0 - 60|}{\sqrt{4 + 36 + 25}} = \frac{|180 - 60|}{\sqrt{65}} = \frac{120}{\sqrt{65}} = \frac{120\sqrt{65}}{65} = \frac{24\sqrt{65}}{13}$$

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/PwmzxfMXUyF4GuaE385pilFpw7hs0ObT2cySBuRs.jpg)

Задание №14СтереометрияЕГЭ по математике