Question

Решите неравенство:

$$12^{x}-8^{x}-2\cdot 6^{x+1}+3\cdot 4^{x+1}+32\cdot 3^{x}-2^{x+5}\leq 0$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: разложить левую часть на множители, выделив общий множитель $(3^x - 2^x)$, затем решить совокупность систем неравенств. Распишем степени через произведения: $$12^{x}=6^{x}\cdot 2^{x}, \quad 8^{x}=4^{x}\cdot 2^{x}, \quad 6^{x+1}=6\cdot 6^{x}, \quad 4^{x+1}=4\cdot 4^{x}, \quad 2^{x+5}=32\cdot 2^{x}$$ Подставим в неравенство: $$6^{x}\cdot 2^{x}-4^{x}\cdot 2^{x}-12\cdot 6^{x}+12\cdot 4^{x}+32\cdot 3^{x}-32\cdot 2^{x}\leq 0$$ Представим $6^x = 3^x \cdot 2^x$ и $4^x = 2^{2x}$: $$3^{x}\cdot 2^{2x}-2^{3x}-12\cdot 3^{x}\cdot 2^{x}+12\cdot 2^{2x}+32\cdot 3^{x}-32\cdot 2^{x}\leq 0$$ Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители: $$2^{2x}(3^{x}-2^{x})-12\cdot 2^{x}(3^{x}-2^{x})+32(3^{x}-2^{x})\leq 0$$ Вынесем $(3^x - 2^x)$: $$(3^{x}-2^{x})(2^{2x}-12\cdot 2^{x}+32)\leq 0$$ Разложим квадратный трёхчлен относительно $2^x$. Найдём корни: $2^x = 4$ и $2^x = 8$: $$(3^{x}-2^{x})(2^{x}-4)(2^{x}-8)\leq 0$$ Произведение трёх множителей неположительно. Применим метод интервалов. Обозначим $f(x) = (3^{x}-2^{x})(2^{x}-4)(2^{x}-8)$. Нули множителей: $3^x = 2^x$ при $x = 0$; $2^x = 4$ при $x = 2$; $2^x = 8$ при $x = 3$. Проверим знаки на интервалах: - При $x < 0$: $3^x < 2^x$, $2^x < 4$, $2^x < 8$ → $(-)(-)(-)= -$ ✓ - При $0 < x < 2$: $3^x > 2^x$, $2^x < 4$, $2^x < 8$ → $(+)(-)(-)= +$ ✗ - При $2 < x < 3$: $3^x > 2^x$, $2^x > 4$, $2^x < 8$ → $(+)(+)(-)= -$ ✓ - При $x > 3$: $3^x > 2^x$, $2^x > 4$, $2^x > 8$ → $(+)(+)(+)= +$ ✗ На границах: $f(0) = 0$, $f(2) = 0$, $f(3) = 0$. Решение неравенства $f(x) \leq 0$: $$x \in (-\infty; 0] \cup [2; 3]$$

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике