Question

Решите неравенство:

$$\frac{1}{3^{x}+21}+\frac{1}{3^{x}-27}\geq0$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: введём замену переменной, приведём дроби к общему знаменателю, применим метод интервалов и вернёмся к исходной переменной.

Обозначим $t = 3^{x}$, где $t > 0$:

$$\frac{1}{t+21}+\frac{1}{t-27}\geq0$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{t-27+t+21}{(t+21)(t-27)}\geq0$$

$$\frac{2t-6}{(t+21)(t-27)}\geq0$$

Вынесем множитель из числителя:

$$\frac{2(t-3)}{(t+21)(t-27)}\geq0$$

Применим метод интервалов. Нули и точки разрыва: $t = -21$, $t = 3$, $t = 27$.

Анализируя знаки на каждом промежутке (см. диаграмму), получаем:

$$\left[\begin{array}{l} \begin{cases} t > -21 \ t \leq 3 \end{cases} \ t > 27 \end{array}ight.$$

Вернёмся к переменной $x$:

$$\left[\begin{array}{l} \begin{cases} 3^{x} > -21 \ 3^{x} \leq 3 \end{cases} \ 3^{x} > 27 \end{array}ight.$$

Поскольку $3^{x} > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$, условие $3^{x} > -21$ выполнено автоматически. Решаем оставшиеся неравенства:

$$\left[\begin{array}{l} \begin{cases} x \in \mathbb{R} \ x \leq 1 \end{cases} \ x > 3 \end{array}ight.$$

$$\left[\begin{array}{l} x \leq 1 \ x > 3 \end{array}ight.$$

![Рисунок](https://afb4a530-22b8-416e-b47b-cdbbbe63bf2f.selstorage.ru/files/RdyTmTjgFO0ZQGQQLNIOLDCawNP5Xy6PyBPtWkXO.jpg)

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике