Question

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

$$\ln(4x-1) \cdot \sqrt{x^2 - 6x + 6a - a^2} = 0$$

имеет ровно один корень на отрезке $[0; 3]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель обращается в ноль; нужно найти все корни, проверить условия существования и определить, при каких $a$ остаётся ровно один корень на заданном отрезке.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$$\left[\begin{array}{l} \ln(4x-1) = 0 \ \sqrt{x^2 - 6x + 6a - a^2} = 0 \end{array}ight.$$

При условиях:

$$\begin{cases} 4x - 1 > 0 \ x^2 - 6x + 6a - a^2 \geq 0 \end{cases}$$

Из первого уравнения: $4x - 1 = 1$, откуда $x = \frac{1}{2}$.

Из второго уравнения: $x^2 - 6x + 6a - a^2 = 0$.

Переформулируем второе уравнение:

$$x^2 - a^2 - 6(x - a) = 0$$

$$(x - a)(x + a) - 6(x - a) = 0$$

$$(x - a)(x + a - 6) = 0$$

Получаем $x_2 = a$ или $x_3 = 6 - a$.

Подставим в условие $x^2 - 6x + 6a - a^2 \geq 0$:

$$\frac{1}{4} - 3 + 6a - a^2 \geq 0$$

$$-a^2 + 6a - \frac{11}{4} \geq 0$$

$$4a^2 - 24a + 11 \leq 0$$

Дискриминант: $D = 576 - 176 = 400$.

$$a = \frac{24 \pm 20}{8}$$

Получаем $a_1 = \frac{1}{2}$, $a_2 = \frac{11}{2}$.

Корень $x_1 = \frac{1}{2}$ существует при $a \in \left[\frac{1}{2}; \frac{11}{2}ight]$ и всегда лежит на $[0; 3]$.

Условия: $0 \leq a \leq 3$, $4a - 1 > 0$, $a^2 - 6a + 6a - a^2 \geq 0$.

Второе условие даёт $a > \frac{1}{4}$, третье — $0 \geq 0$ (всегда верно).

Корень $x_2 = a$ существует при $a \in \left(\frac{1}{4}; 3ight]$.

Условия: $0 \leq 6 - a \leq 3$, $4(6-a) - 1 > 0$, $(6-a)^2 - 6(6-a) + 6a - a^2 \geq 0$.

Из первого: $3 \leq a \leq 6$.

Из второго: $23 - 4a > 0$, то есть $a < \frac{23}{4}$.

Третье условие: $36 - 12a + a^2 - 36 + 6a + 6a - a^2 \geq 0$, то есть $0 \geq 0$ (всегда верно).

Корень $x_3 = 6 - a$ существует при $a \in \left[3; \frac{23}{4}ight)$.

**Анализ совпадений:**

- $x_1 = x_2$: $\frac{1}{2} = a$ ⟹ $a = \frac{1}{2}$.
- $x_2 = x_3$: $a = 6 - a$ ⟹ $a = 3$.
- $x_1 = x_3$: $\frac{1}{2} = 6 - a$ ⟹ $a = \frac{11}{2}$.

**Определение значений $a$ с ровно одним корнем:**

- При $a = \frac{1}{2}$: $x_1 = x_2 = \frac{1}{2}$ (один корень). ✓
- При $a \in \left(\frac{1}{2}; 3ight)$: три различных корня. ✗
- При $a = 3$: $x_2 = x_3 = 3$ (два корня: $\frac{1}{2}$ и $3$). ✗
- При $a \in \left(3; \frac{11}{2}ight)$: три различных корня. ✗
- При $a = \frac{11}{2}$: $x_1 = x_3 = \frac{1}{2}$ (один корень). ✓
- При $a \in \left(\frac{11}{2}; \frac{23}{4}ight)$: два корня ($x_1$ и $x_3$). ✗

Задание №18Параметры и теория чиселЕГЭ по математике