Question

На доске записано 10 натуральных чисел, все различные. Известно, что среднее арифметическое любых трёх, четырёх, пяти или шести из этих чисел — целое число. Одно из чисел равно 30035.

а) Может ли среди них быть число 325?

б) Может ли отношение двух из этих чисел равняться 7?

в) Отношение двух из этих чисел является целым числом $n$. Найдите наименьшее возможное значение $n$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: из условия целостности средних арифметических вывести, что все числа имеют одинаковый остаток при делении на 60, затем проверить возможные отношения.

Если среднее арифметическое $k$ чисел равно целому числу, то их сумма делится на $k$.

Рассмотрим два произвольных числа $a$ и $b$ из набора. Возьмём два набора по три числа:

$$a + b + x_1 = 3M_1$$

$$a + b + x_2 = 3M_2$$

где $M_1, M_2$ — целые числа. Вычитая первое уравнение из второго:

$$x_1 - x_2 = 3(M_1 - M_2)$$

Следовательно, разность любых двух чисел делится на 3.

Аналогично, рассматривая наборы по четыре, пять и шесть чисел, получаем, что разность любых двух чисел делится на 4, 5 и 6 соответственно.

Таким образом, разность любых двух чисел делится на $	ext{НОК}(3, 4, 5, 6) = 60$.

Это означает, что все числа имеют одинаковый остаток при делении на 60.

Найдём остаток числа 30035 при делении на 60:

$$30035 = 500 \cdot 60 + 35$$

Остаток равен 35. Следовательно, все числа имеют вид $60k + 35$ для различных натуральных $k$.

**а)** Проверим число 325:

$$325 = 5 \cdot 60 + 25$$

Остаток равен 25, а не 35. Поэтому число 325 не может быть на доске.

Задание №19Параметры и теория чиселЕГЭ по математике