Question

Биссектриса угла $A$ треугольника $ABC$ пересекает сторону $BC$ в точке $K$, а окружность, описанную около треугольника $ABC$, — в точке $M$.

а) Докажите, что треугольник $BMC$ равнобедренный.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $KMC$, если $AC = 6$, $BC = 7$, $AB = 8$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: используем свойства вписанных углов и биссектрисы, затем применяем теорему синусов.

**а) Доказательство**

Вписанные углы $\angle BAM$ и $\angle BCM$ опираются на одну дугу $BM$, поэтому:

$$\angle BAM = \angle BCM$$

Так как $AM$ — биссектриса угла $A$, имеем $\angle BAM = \angle MAC$. Следовательно:

$$\angle MAC = \angle BCM$$

Но $\angle MAC = \angle MBC$ (вписанные углы, опирающиеся на дугу $MC$). Таким образом:

$$\angle MBC = \angle MCB$$

Это означает, что треугольник $BMC$ равнобедренный с $MB = MC$. ✓

**б) Нахождение радиуса**

По теореме о биссектрисе треугольника:

$$\frac{BK}{KC} = \frac{AB}{AC} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$$

Так как $BK + KC = BC = 7$, получаем $BK = 4$ и $KC = 3$.

Вписанные углы $\angle ABC$ и $\angle AMC$ опираются на одну дугу $AC$, поэтому:

$$\angle ABC = \angle AMC$$

Применим теорему косинусов к треугольнику $ABC$:

$$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos \angle ABC$$

$$36 = 64 + 49 - 2 \cdot 8 \cdot 7 \cdot \cos \angle ABC$$

$$\cos \angle ABC = \frac{77}{112} = \frac{11}{16}$$

Найдём синус этого угла:

$$\sin^2 \angle ABC = 1 - \cos^2 \angle ABC = 1 - \frac{121}{256} = \frac{135}{256}$$

$$\sin \angle ABC = \frac{\sqrt{135}}{16} = \frac{3\sqrt{15}}{16}$$

Поскольку $\angle AMC = \angle ABC$, имеем $\sin \angle AMC = \frac{3\sqrt{15}}{16}$.

В треугольнике $KMC$ угол $\angle KMC = \angle AMC$ (так как точки $A$, $K$, $M$ лежат на одной прямой). По теореме синусов для треугольника $KMC$:

$$R = \frac{KC}{2 \sin \angle KMC} = \frac{3}{2 \cdot \frac{3\sqrt{15}}{16}} = \frac{3 \cdot 16}{6\sqrt{15}} = \frac{8}{\sqrt{15}} = \frac{8\sqrt{15}}{15}$$

Задание №17ПланиметрияЕГЭ по математике