Question

а) Решите уравнение $2\cos^2 x + \sin^2 x = 2\cos^3 x$.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{7\pi}{2}; -2\pi\right]$.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: преобразовать уравнение через основное тригонометрическое тождество, разложить на множители и найти решения.

**а) Решение уравнения**

Заменим $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$:

$$2\cos^2 x + 1 - \cos^2 x = 2\cos^3 x$$

$$\cos^2 x + 1 = 2\cos^3 x$$

$$2\cos^3 x - \cos^2 x - 1 = 0$$

Перепишем в виде:

$$2\cos^2 x(1 - \cos x) + (1 - \cos x)(1 + \cos x) = 0$$

$$(1 - \cos x)(2\cos^2 x + \cos x + 1) = 0$$

Рассмотрим два случая:

**Случай 1:** $1 - \cos x = 0$, откуда $\cos x = 1$.

Это даёт $x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

**Случай 2:** $2\cos^2 x + \cos x + 1 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = 1 - 8 = -7 < 0$.

Решений нет.

**Ответ для пункта а):** $x = 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$.

**б) Отбор корней на отрезке**

Применим метод двойного неравенства. Подставим $x = 2\pi k$ в условие $-\frac{7\pi}{2} \leq x \leq -2\pi$:

$$-\frac{7\pi}{2} \leq 2\pi k \leq -2\pi$$

Разделим на $2\pi$:

$$-\frac{7}{4} \leq k \leq -1$$

Единственное целое значение в этом диапазоне: $k = -1$.

Тогда $x = 2\pi \cdot (-1) = -2\pi$.

Задание №13УравненияЕГЭ по математике