Question

В июле 2026 года Андрей планирует открыть накопительный счёт на три года. Условия таковы:

- 1 июля 2026 года на счёт поступает 819 000 рублей;
- 30 июня каждого года сумма на счёте возрастает на 20% относительно остатка на 29 июня;
- 1 июля 2027, 2028, 2029 годов Андрей снимает одинаковую фиксированную сумму;
- 1 июля 2029 года счёт должен быть полностью опустошен.

Определите размер ежегодного снятия.

Accepted Answer

Answer

Идея решения: отследить динамику счёта через три года, учитывая ежегодное начисление процентов и снятия, затем составить уравнение на полное обнуление остатка.

Обозначим через $S = 819\,000$ начальный вклад, через $r = 20\%$ годовую ставку, $k = 1 + \frac{r}{100} = 1{,}2$ коэффициент увеличения, и через $x$ размер ежегодного снятия.

Проследим остаток на счёте по годам:

| Год | После начисления процентов | После снятия |
|-----|---------------------------|-------------|
| 1 | $Sk$ | $Sk - x$ |
| 2 | $(Sk - x)k$ | $(Sk - x)k - x$ |
| 3 | $((Sk - x)k - x)k$ | $((Sk - x)k - x)k - x$ |

Раскроем скобки в выражении для остатка после третьего снятия:

$$((Sk - x)k - x)k - x = Sk^3 - xk^2 - xk - x$$

По условию счёт полностью опустошается:

$$Sk^3 - xk^2 - xk - x = 0$$

Вынесем $x$ за скобки:

$$Sk^3 - x(k^2 + k + 1) = 0$$

Отсюда:

$$x = \frac{Sk^3}{k^2 + k + 1}$$

Подставим числовые значения. Вычислим $k^3 = 1{,}2^3 = 1{,}728$ и $k^2 + k + 1 = 1{,}44 + 1{,}2 + 1 = 3{,}64$:

$$x = \frac{819\,000 \cdot 1{,}728}{3{,}64} = \frac{1\,414\,632}{3{,}64} = 388\,800$$

Задание №16Финансовая математика и оптимизацияЕГЭ по математике