Question

Решите неравенство:

$$\log_{5}(3x+1) + \log_{5}\left(\frac{1}{72x^2}+1\right) \geq \log_{5}\left(\frac{1}{24x}+1\right)$$

Accepted Answer

Answer

Идея решения: применить свойство логарифма суммы, затем использовать монотонность логарифма и решить полученное рациональное неравенство методом интервалов.

Объединим логарифмы в левой части:

$$\log_{5}\left((3x+1)\left(\frac{1}{72x^2}+1ight)ight) \geq \log_{5}\left(\frac{1}{24x}+1ight)$$

Поскольку основание $5 > 1$, функция логарифма возрастает, поэтому неравенство равносильно:

$$(3x+1)\left(\frac{1}{72x^2}+1ight) \geq \frac{1}{24x}+1$$

Раскроем скобки в левой части:

$$\frac{3x}{72x^2} + 3x + \frac{1}{72x^2} + 1 \geq \frac{1}{24x} + 1$$

Упростим $\frac{3x}{72x^2} = \frac{1}{24x}$:

$$\frac{1}{24x} + 3x + \frac{1}{72x^2} + 1 \geq \frac{1}{24x} + 1$$

Сократим одинаковые слагаемые:

$$3x + \frac{1}{72x^2} \geq 0$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{216x^3 + 1}{72x^2} \geq 0$$

Найдём нули числителя:

$$216x^3 + 1 = 0 \implies x^3 = -\frac{1}{216} \implies x = -\frac{1}{6}$$

Знаменатель обращается в нуль при $x = 0$.

Определим область допустимых значений. Требуется:
- $3x + 1 > 0 \implies x > -\frac{1}{3}$
- $\frac{1}{72x^2} + 1 > 0$ (выполнено для всех $x 
eq 0$)
- $\frac{1}{24x} + 1 > 0 \implies \frac{1 + 24x}{24x} > 0 \implies x \in \left(-\infty; -\frac{1}{24}ight) \cup (0; +\infty)$

Пересечение ограничений: $x \in \left(-\frac{1}{3}; -\frac{1}{24}ight) \cup (0; +\infty)$.

Применим метод интервалов к неравенству $\frac{216x^3 + 1}{72x^2} \geq 0$:

На интервале $\left(-\infty; -\frac{1}{6}ight)$: числитель отрицателен, знаменатель положителен — дробь отрицательна.

На интервале $\left(-\frac{1}{6}; 0ight)$: числитель положителен, знаменатель положителен — дробь положительна.

На интервале $(0; +\infty)$: числитель положителен, знаменатель положителен — дробь положительна.

Решение неравенства: $x \in \left[-\frac{1}{6}; 0ight) \cup (0; +\infty)$.

Пересечём с областью допустимых значений:

$$\left(\left[-\frac{1}{6}; 0ight) \cup (0; +\infty)ight) \cap \left(\left(-\frac{1}{3}; -\frac{1}{24}ight) \cup (0; +\infty)ight) = \left[-\frac{1}{6}; -\frac{1}{24}ight) \cup (0; +\infty)$$

Задание №15НеравенстваЕГЭ по математике