Question

Найдите наименьшее значение функции $y = x\sqrt{x} - 6x + 3$ на отрезке $[0; 40]$.

Accepted Answer

-29

Answer

Идея решения: найти критические точки через производную, проверить их и граничные значения отрезка. Вычислим производную функции: $$y' = \left(x^{\frac{3}{2}} - 6x + 3\right)' = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} - 6$$ Приравняем производную к нулю: $$\frac{3}{2}\sqrt{x} - 6 = 0$$ $$\frac{3}{2}\sqrt{x} = 6$$ $$\sqrt{x} = 4$$ $$x = 16$$ Точка $x = 16$ лежит внутри отрезка $[0; 40]$. Проанализируем знак производной: при $x < 16$ имеем $y' < 0$ (функция убывает), при $x > 16$ имеем $y' > 0$ (функция возрастает). Следовательно, $x = 16$ — точка минимума. Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка: $$y(0) = 0 - 0 + 3 = 3$$ $$y(16) = 16\sqrt{16} - 6 \cdot 16 + 3 = 16 \cdot 4 - 96 + 3 = 64 - 96 + 3 = -29$$ $$y(40) = 40\sqrt{40} - 6 \cdot 40 + 3 = 40 \cdot 2\sqrt{10} - 240 + 3 = 80\sqrt{10} - 237$$ Поскольку $\sqrt{10} \approx 3{,}16$, получаем $y(40) \approx 252{,}8 - 237 = 15{,}8 > -29$. Наименьшее значение функции на отрезке равно $-29$.

Задание №12Функции, графики и производнаяЕГЭ по математике