Question

Расстояние между пристанями A и B составляет 192 км. Из пункта A в пункт B по течению реки отправился плот. Через 3 часа вслед за ним стартовала яхта. Достигнув пункта B, яхта немедленно развернулась и вернулась в A. В момент возвращения яхты плот преодолел 92 км. Определите скорость яхты в стоячей воде, если скорость течения составляет 4 км/ч. Ответ выразите в км/ч.

Accepted Answer

20

Answer

Идея решения: составить уравнение на основе условия, что время в пути плота на 3 часа больше времени в пути яхты.

Обозначим скорость яхты в стоячей воде через $x$ км/ч.

Плот движется со скоростью течения, поэтому его скорость равна 4 км/ч. Время, за которое плот проплыл 92 км:

$$t_{	ext{плот}} = \frac{92}{4} = 23 	ext{ ч}$$

Яхта движется по течению со скоростью $x + 4$ км/ч и против течения со скоростью $x - 4$ км/ч. Время в пути яхты складывается из времени движения из A в B и времени возврата из B в A:

$$t_{	ext{яхта}} = \frac{192}{x+4} + \frac{192}{x-4}$$

По условию яхта отправилась на 3 часа позже плота. Когда яхта вернулась в A, плот проплыл 92 км за 23 часа. Значит, яхта была в пути на 3 часа меньше:

$$\frac{192}{x+4} + \frac{192}{x-4} = 23 - 3$$

$$\frac{192}{x+4} + \frac{192}{x-4} = 20$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{192(x-4) + 192(x+4)}{(x+4)(x-4)} = 20$$

$$\frac{192x - 768 + 192x + 768}{x^2 - 16} = 20$$

$$\frac{384x}{x^2 - 16} = 20$$

$$384x = 20(x^2 - 16)$$

$$384x = 20x^2 - 320$$

$$20x^2 - 384x - 320 = 0$$

$$5x^2 - 96x - 80 = 0$$

По формуле корней квадратного уравнения:

$$x = \frac{96 \pm \sqrt{9216 + 1600}}{10} = \frac{96 \pm \sqrt{10816}}{10} = \frac{96 \pm 104}{10}$$

Получаем два корня:

$$x_1 = \frac{96 + 104}{10} = \frac{200}{10} = 20$$

$$x_2 = \frac{96 - 104}{10} = \frac{-8}{10} = -0{,}8$$

Скорость не может быть отрицательной, поэтому $x = 20$ км/ч.

Задание №10Текстовые и прикладные задачиЕГЭ по математике